Уравнение касательной парам.

[Bardo]

Суть задания: необходимо составить уравнение касательной и нормали для параметрически заданной функции. Собственно, это я делать умею, но отягощает меня одно условие. Точка задана в виде (x; y; z).А также функций три, соответственно. Итак, задание:
$x=e^t\cos(t) $, $y=e^t \sin(t)$, $z=e^t$ $M=(1;0;1)$

Без догадок. Подскажите, пожалуйста

От модератора AD:
Ставьте слеши перед тригонометрическими функциями: $sinx$ vs. $\sin x$.

$sinx$ vs. $\sin x$.

Зведочка обозначает свёртку, не используйте ее вместо умножения, хочется умножить - используйте "$\cdot$" или "$\times$"

"$\cdot$" или "$\times$"

Вот AKM Вам уже пример показывает.

[ewert]

Собственно, Вам нужно найти $t$. Ну так из трёх функций одна монотонна и, следовательно, по ней $t$ находится вполне однозначно...

[Bardo]

Такая мысль была, согласен. Из последней функции нашел t. Равно нулю. После этого по стандартной формуле находим производную $y'_x$ ? Ну, допустим. Как само уравнение касательной выглядит для такого случая? Или точно таким же? Т. е. $y=y_0 + y'_x*(x-x_0)$?

[ewert]

Bardo в сообщении #270071 писал(а):

Такая мысль была, согласен. Из последней функции нашел t. Равно нулю. После этого по стандартной формуле находим производную $y'_x$ ? Ну, допустим. Как само уравнение касательной выглядит для такого случая? Или точно таким же? Т. е. $y=y_0 + y'_x*(x-x_0)$?

Ну это чушь, извините. У Вас объекты трёхмерны. Для написания уравнений прямой нужны ровно две вещи: направляющий вектор и точка на прямой (это и для плоских кривых так, кстати). Точка у Вас есть, а вектор -- хоть из соображений здравого смысла, если не помните теорию (вспомните хоть кинематику, принимая $t$ за время).

И не забывайте, что нормаль к кривой -- это некая плоскость (раз уж запрошено "уравнение").

[Bardo]

Тут проблема... Теорию я учил (уравнение прямой в векторном виде, заданной параметрически, каноническое уравнение и т.д.), но не могу применить из-за не очень хорошего понимания. Можно еще подсказку-совет?

[ewert]

Подсказываю. У Вас есть три функции, параметрически задающие кривую: $x(t)$, $y(t)$ и $z(t)$. Пока что -- абстрактно задающие.

А теперь интерпретируйте эти уравнения как зависимость координат точки на кривой от времени $t$.

Как направлена скорость движения точки по отношению к самой кривой?...

И как находятся координаты скорости, если известна зависимость координат точки от времени?...

[AKM]

Bardo в сообщении #270064 писал(а):

Суть задания: необходимо составить уравнение касательной и нормали для параметрически заданной функции...
Итак, задание:
$x=e^t * cos(t) , y=e^t * sin(t), z=e^t. M=(1;0;1)$

Без догадок. Подскажите, пожалуйста

Наверное, повторить сказанное ewertом не помешает.

Суть задания: необходимо составить уравнение касательной и нормали для параметрически заданной кривой:

$$x{\color{blue}(t)}=e^t \cos t , \quad y{\color{blue}(t)}=e^t \sin t, \quad z{\color{blue}(t)}=e^t.$$

Когда-то Вы изучали производные на примере функции $y(x)$. Смотрели графики, касательные к графику функции, наверное, применяли понятие "скорость роста функции". Похоже, привычка к этим обозначениям, $y$ для функции и $x$ для аргумента, Вас малость запутывает.
Теперь эти знания Вам предлагается применить для исследования пространственной кривой, траектории снаряда, выпущенного из пушки или рогатки. И эта траектория описывается аж тремя разными функциями. У каждой своя производная, своя скорость роста. И ести под $t$ понимать реальное время, то эта производная--скорость-роста становится в чистом виде физической скоростью вдоль каждой из координат.
Возьмите рогатку, секундомер...

Триг. функции пишутся так: \sin t (палочка \ перед и пробел после имени)

[Профессор Снэйп]

Bardo в сообщении #270064 писал(а):

необходимо составить уравнение касательной и нормали для параметрически заданной функции.

Касательных (и нормалей) к функциям не бывает. Бывают касательные к кривым и нормали к поверностям

Кстати, у нас здесь кривая. Что такое касательная к ней, я понимаю. А вот что подразумевается под нормалью? Это же не поверхность!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #270313 писал(а):

Кстати, у нас здесь кривая. Что такое касательная к ней, я понимаю. А вот что подразумевается под нормалью? Это же не поверхность!

Увы, именно поверхность (в данном контексте). Подразумевалась "нормальная плоскость".

Ну т.е. или так -- или решительно ничего не подразумевалось.

[ИСН]

Вот в этой перпендикулярной плоскости есть какая-то одна нормаль (не помню, как правильно называется), которая в некотором смысле "главная".
Но это уже другая опера.

[ewert]

ИСН в сообщении #270390 писал(а):

Вот в этой перпендикулярной плоскости есть какая-то одна нормаль

Есть, как не быть. И даже не одна, а две. Только вот ведь бяда: она (они) -- вектор (-ы). И, стало быть, буквосочетание "уравнение" для неё (них) -- бессмысленно.