Несобственный интеграл, исследовать на сходимость

[HZ_Ga'd_like]

Доброго времени суток, помогите разобраться:

$$\int_{1}^{+\infty} \frac {x-[x]-\alpha} {x} dx$$

Надо исследовать на сходимость.

Если брать последовательность по натуральным числам, по получившийся ряд будет расходиться для всех $\alpha \neq \frac {1}{2}$.

Что делать при $\alpha=\frac {1}{2}$? Признаки Дирихле и Абеля не работают, так как функции должны быть непрерывны, доказать по критерию Коши не удаётся.

[ИСН]

Есть такое козырное обозначение $\{x\}$, если чо.
А что до интеграла, так надо его взять по каждому отрезочку (он же берётся), и смотреть на получившийся ряд. По-моему, очевидно, что для 1/2 будет условная сходимость.

[HZ_Ga'd_like]

ИСН в сообщении #269796 писал(а):

А что до интеграла, так надо его взять по каждому отрезочку (он же берётся), и смотреть на получившийся ряд. По-моему, очевидно, что для 1/2 будет условная сходимость.

Как понимать "взять по каждому отрезочку"?

1) Надо крутиться из критерия Коши.
2) Или показывать что для любой последовательности стремящейся в бесконечность, получившийся ряд сходится.

Или имелось в виду что-то третье?

[ewert]

HZ_Ga'd_like в сообщении #269817 писал(а):

1) Надо крутиться из критерия Коши.

Не надо.

Непонятно: если Вы знаете, почему интеграл расходится при $\alpha\ne{1\over2}$ -- то почему не знаете причины его сходимости при $\alpha={1\over2}$?...

HZ_Ga'd_like в сообщении #269817 писал(а):

Как понимать "взять по каждому отрезочку"?

HZ_Ga'd_like в сообщении #269791 писал(а):

брать последовательность по натуральным числам

[HZ_Ga'd_like]

ewert в сообщении #269824 писал(а):

Непонятно: если Вы знаете, почему интеграл расходится при $\alpha\ne{1\over2}$ -- то почему не знаете причины его сходимости при $\alpha={1\over2}$?...

Если брать по отрезку [k,k+1], k- натуральное, тогда получившийся ряд сходится при $\alpha=\frac{1}{2}$ а при всех остальных $\alpha$ расходится.
Но из сходимости ряда не следует сходимость несобственного интеграла, так как по опеределению: Для любой последовательности стремящейся в бесконечность, ряд должен сходится. А мы проверили только одну последовательность.

[ewert]

HZ_Ga'd_like в сообщении #269835 писал(а):

Но из сходимости ряда не следует сходимость несобственного интеграла, так как по опеределению: Для любой последовательности стремящейся в бесконечность, ряд должен сходится. А мы проверили только одну последовательность.

Следует, т.к. интеграл по любому хвостику $[k;\,k+\theta]$ стремится к нулю равномерно по $\theta\in[0;\,1]$ (числитель-то ограничен).

[HZ_Ga'd_like]

Спасибо, я понял)