Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

[bullseye]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться:
Дан интеграл:

$$\int_{0}^{1/2} dx \int_{1-x^2}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y) dy$$

$0 \le x \le 1/2$

$1-x^2 \le y \le \sqrt{1-x^2}$

$\Rightarrow$

$1/2 \le y \le \sqrt{3}/2$

$ \sqrt{1-y^2} \le x \le \sqrt{1-y}$
А что делать дальше? Откуда брать остальные пределы?
Интеграл, разделив на две области привести к виду:
$\int_{y_1}^{y_2} dy \int_{x_1}^{x_2}} f(x,y) dx + \int_{y_1}^{y_2} dy \int_{x_1}^{x_2} f(x,y) dx$

[nestoklon]

Если вы просто нарисуете на клетчатой бумаге, как выполняется интгрирование по этой области, вы сразу всё напишете. Первый пункт вы уже решили (сколько вам пределов ещё надо? Вы четыре штуки уже нашли -- больше просто девать некуда).

Во второй то же самое -- надо хорошую картинку. Вы не пробовали сделать разность, а не сумму? Если хочется всенепременно сумму, нарисуйте произвольную линию посередине. Но есть подозрение, что автор задачи имел в виду не этот вариант решения.

[bullseye]

nestoklon в сообщении #269360 писал(а):

Если вы просто нарисуете на клетчатой бумаге, как выполняется интгрирование по этой области, вы сразу всё напишете. Первый пункт вы уже решили (сколько вам пределов ещё надо? Вы четыре штуки уже нашли -- больше просто девать некуда).

Во второй то же самое -- надо хорошую картинку. Вы не пробовали сделать разность, а не сумму? Если хочется всенепременно сумму, нарисуйте произвольную линию посередине. Но есть подозрение, что автор задачи имел в виду не этот вариант решения.

В том-то и дело, что непонятно, что хочет автор. Дело в том, что если я хочу проверить я подставляю произвольную функцию и решаю сначало исходный, затем с моими подстановками. И ответы получаются разные. Я понимаю, что задача элементарнейшая только не могу понять как поделить область, там ведь пойдут уже дроби и как-то некрасиво, вот я и подумал, что можно как-то попроще... В этом же типовике я решал свои вариант и без проблем, а тут.. какие-то проблемы. Спасибо за ответ, попробую, только как я не рисовал, сложно эту область поделить, на ровные части.

[gris]

к словам nestoklon добавлю, что нужно провести линию $y=\sqrt3/2$.
Тогда клювик разобьётся на две области. В одной интегрирование от параболы до окружности, а во второй от параболы до $x=0,5$

[bullseye]

Все равно не понимаю, не получается
$\int_{0}^{1/2} \int_{\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y) dxdy + \int_{3/10}^{1/2} \int_{\sqrt{1-y}}^{\sqrt{3}/2} f(x,y) dxdy$

[ewert]

Первый пост был гораздо лучше.

Во-первых: все цифирки перепутаны; в частности, что это ещё за 3/10?

Во-вторых: разнесите дифференциалы как положено -- к каждый к своему значку интеграла. Пока что даже и комментировать-то невозможно.

[gris]

Давайте посмотрим на картинку. Слева у нас парабола. Справа - окружность и отрезок. Сначала (внутри) мы должны интегрировать по $x$. Представьте горизонтальный отрезок, левый конец которого лежит на параболе, а правый то на вертикальном отрезке $x=0,5$, то на окружности. При каком $y$ мы переходим на окружность? При $y=\sqrt3/2$.

Теперь будем интегрировать по $y$ (внешне). Будем поднимать наш отрезок вверх.
Интегрирование по $y$ начинается от $y=0,75$ и до $y=\sqrt3/2$ отрезок левым концом скользит по параболе $x=\sqrt{1-y}$, а правым концом скользит по вертикальному отрезку $x=0,5$. Это определяет пределы интегрирования в первом интеграле

$$\int\limits_{0,75}^{\sqrt3/2}dy\int\limits_{\sqrt{1-y}}^{0,5}f(x,y)\,dx$$

Аналогично и во втором интеграле.

upd половинные пробелы

[bullseye]

Все разобрался! Спасибо большое за разъяснение!

[AD]

bullseye, gris, в $\TeX$е есть такая замечательная традиция - ставить перед дифференциалами половинные пробелы:
$\int_{0}^{1/2} \int_{\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y)dxdy$
vs.
$\int_{0}^{1/2} \int_{\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y)\,dx\,dy$

\,dx\,dy

Ну просто приятнее смотрится.