Задача на геометрическую вероятность

[rar]

Действительная и мнимая части комплексного числа $z$ произвольным образом выбираются из отрезка $[0, 2]$. Найти вероятность того, что $Im[1/z]+1/4<0$.

Объясните пожалуйста как решать такую задачу. Не понимаю, что значит запись $Im[1/z]+1/4<0$.

[Sonic86]

Если $w \in \mathbb{C}$, то есть $w=a+bi$, то $Im (w) = b$.
Вам надо определить множество точек, удовлетворяющих этому условию, а потом найти, какую долю площади в квадрате $[0;2]^2$ это множество занимает.

[TOTAL]

rar в сообщении #269344 писал(а):

Не понимаю, что значит запись $Im[1/z]+1/4<0$.

Она означает, что сумма двух чисел отрицательна.

[gris]

Подсказка в словах "геометрическая вероятность". Комплексное число можно записать в виде $z=x+iy$ и изобразить точкой на плоскости $XoY$.
$Im z$ это мнимая часть числа. Надо найти площадь области, в которой располагаются числа, удовлетворяющие заданным условиям. А для нахождения мнимой части используйте домножение на сопряжённое.

[rar]

Я не понял вот этой записи $Im[1/z]$.

[gris]

$z=x+iy$
$\dfrac1z=\dfrac1{x+iy} = a+bi$
Нужно найти $b$

[rar]

$$Im\left[\frac{1}{z}\right]+\frac{1}{4}<0$$

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$$

Значит:

$$Im\left[\frac{1}{z}\right]=-\frac{y}{x^2+y^2}$$

Тогда:

$$-\frac{y}{x^2+y^2}+\frac{1}{4}<0$$

$$y^2-4y+x^2<0$$

Вот такая петрушка получилась. Вот, что с этим делать? Видимо это куча парабол. А мне надо как фигуру найти которая рисуется с помощью этого неравенства. Помогите.

[TOTAL]

rar в сообщении #269409 писал(а):

Видимо это куча парабол.

Сколько здесь парабол?

[rar]

TOTAL в сообщении #269411 писал(а):

rar в сообщении #269409 писал(а):

Видимо это куча парабол.

Сколько здесь парабол?

Но у нас x-то не фиксировано. В зависимости от x будет своя парабола. Разве не так?

[gris]

Добавьте по 4 к каждой части неравенства и объедините слева три члена, кроме икс.

[rar]

gris в сообщении #269415 писал(а):

Добавьте по 4 к каждой части неравенства и объедините слева три члена, кроме икс.

$$(y-2)^2<(2-x)(2+x)$$

Что-то картина не проясняется для меня.

[gris]

икс зря перенесли

[Sonic86]

rar писал(а):

Но у нас x-то не фиксировано. В зависимости от x будет своя парабола. Разве не так?

В зависимости от $x$ будет не более 2-х $y$. А значит для всех $x$ сколько будет парабол?

[rar]

$$(y-2)^2+x^2<2^2$$

Это получается окружность радиусом 2 с центом в точке (0, 2). Значит вычисляю площадь это окружности, делю её на 4. И вероятность равна $P=S_{chetvert_okruzhnocty}/S_{kvadrata}$
Так?

[gris]

Надо взять ту часть круга, которая лежит внутри квадрата$[0;2]\times [0;2]$
А, ну да, правильно.