[ДУ] Как продолжить интегральную кривую через особую точку

[PaD]

Добрый день!

Имеется некоторое нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) 1-го порядка:

$$ \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{P(x,y)}{Q(x,y)}.\ \ (1) $$

Либо можно рассматривать соответствующую автономную систему:

$$ \dfrac{dx}{dt}=Q(x,y),\ \dfrac{dy}{dt}=P(x,y). $$

ОДУ (1) имеет определенное число особых точек.

Цель исследования такова: выбрать произвольно точку $M(x_{m},y_{m})$ на плоскости $x,y$ и проследить траекторию интегральной кривой $l$ ОДУ (1), исходящей из этой точки. При этом ОДУ (1) интегрируется численно.

Проблема заключается в том, что не удается продолжить интегральную кривую $l$, когда она является рядовой (аналитической) кривой, проходящей через особую точку типа узел вдоль уса общего направления. Проще говоря, интегральная кривая просто "втыкается" в особую точку (с одной стороны), а с другой не выходит.

Поясню сказанное на рисунке. Точка $(0,0)$ - особая точка типа узел. Красная кривая I - ус отдельного направления, а черная кривая II - ус общего направления. Синяя III, зеленая IV и фиолетовая V кривые являются произвольными рядовыми кривыми, входящими в особую точку вдоль уса общего направления II. Продолжить кривые III, IV и/или V влево не удается. Интегрирование уравнения (1) останавливается в точке $(0,0)$.



Исследование выполняется в СКА Maple. Для интегрирования применяется схема Рунге-Кутты-Фелберга (rkf45) со следующими параметрами:

dsolve(xy_sys_with_ICs, {x,y}, numeric, method = rkf45, abserr = 1e-6, relerr = 1e-6, output = listprocedure):

Прошу уважаемое сообщество помочь в решении проблемы. Может быть существуют какие-либо техники, методики или приемы продолжения решения через особые точки. Возможно я выбрал неверный метод интегрирования или подход в целом. Буду благодарен за любые конструктивные замечания и предложения.

[shwedka]

Говоря строго, указать продолжение решения нельзя. причины: 1. В особой точке нарушается единственность решения, потому любое продолжение является решением, ничем не лучшим или худшим, чем остальные. 2. механическая интерпретация. При приближении к особой точке, скорость движения стремится к нулю, и потому особая точка достигается за бесконечное время. А говорить о том, что случится 'после вечности' бессмысленно.
Однако, при менее формальном подходе, можно все же НАЗНАЧИТЬ некоторое правило продолжения, с некоторыми разумными на то основаниями.. Я бы, если бы на меня наехали с таким вопросом и не дали отбрехаться, взяла бы такое из возможных решений, чтобыкривизна (или, что эквивалентно, вторая производная) решения была бы непрерывной. Иначе говоря, чтобы кривизна интегральной кривой до впадения в особую точку равнялась бы кривизне продолженной кртивой.
Мне представляется, что такой выбор можно реализовать и для процедуры численного решения, но нужно подумать.

Такой метод, вроде бы, должен работать для невырожденных особых точек. Для вырожденных все гораздо хуже, вплоть до того, что там даже и классификации нет. И не потому нет, что не придумали, а потому, что, как лет 30 назад доказал Арнольд, ее быть и не может.

[AKM]

PaD в сообщении #269239 писал(а):

Имеется некоторое нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) 1-го порядка:

$$ \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{P(x,y)}{Q(x,y)}.\ \ (1) $$

Либо можно рассматривать соответствующую автономную систему:

$$ \dfrac{dx}{dt}=Q(x,y),\ \dfrac{dy}{dt}=P(x,y). $$

Опечатка только здесь, в этом посте, или в ошибка Ваших выкладках? В (1) перепутаны числитель и знаменатель?

[alekcey]

PaD в сообщении #269239 писал(а):

Цель исследования такова: выбрать произвольно точку $M(x_{m},y_{m})$ на плоскости $x,y$ и проследить траекторию интегральной кривой $l$ ОДУ (1), исходящей из этой точки. При этом ОДУ (1) интегрируется численно.

Численно решаем автономные системы, но применительно к нахождению решения F(X)=0. При этом вид кривой примерно известен, но кривая бывает и неинтегральной. Рунге-Кутовские методы иногда проходят где-то близко возле точки, и потом с кривой не сходят. Но у нас “известна” сама кривая, и при этом мы всегда можем её уточнить… Здесь же, наверное, надо построить фазовый портрет – это умеют делать некоторые пакеты. Маткад умеет точно, а как конкретно, можно спросить на соответствующем сайте. Тогда будет видно, вписываются или нет Ваши решения в общую картинку…