Математическая физика (обобщенные функции)

[Sayid]

Здравствуйте.
Никак не могу разобраться с таким заданием:
нужно доказать, что функция $\exp(x)$ не принадлежит классу обобщенных функций медленного роста. Идея решения в том, чтобы подобрать такую основную функцию медленного роста, чтобы действие $\exp(x)$ на нее (а так как экспонента - регулярная обобщенная функция, то интеграл от $\exp(x)$, умноженной на эту основную функцию) давало расходящийся интеграл при $x\to\infty$

от модератора AD:

Слил две одинаковые темы в одну эту.

[Gafield]

Правильная идея.

Цитата:

давало расходящийся интеграл при $x\to\infty$

Просто расходящийся интеграл.

[Sayid]

Gafield
Да, я знаю, что идея правильная. А какую функцию брать?

[Gafield]

При желании можно и явную указать, однако необязательно это делать. Можно взять любую неотрицательную $f\in S(\mathbb R)$, равную при $|x|\ge1$...
Cкажем, такую, чтобы подинтегральное выражение к нулю не стремилось при $x\to+\infty$.

[Sayid]

Gafield в сообщении #269155 писал(а):

Можно взять любую неотрицательную $f\in S(\mathbb R)$, равную при $|x|\ge1$...

Уточните, пожалуйста, равную чему?

-- Вт дек 08, 2009 19:25:49 --

Можно ли взять в качестве этой функции $-0,5|x|$, тогда интеграл от $exp(x)*(-0,5x)$ будет расходиться?

[Sayid]

Gafield в сообщении #269155 писал(а):

Можно взять любую неотрицательную $f\in S(\mathbb R)$, равную при $|x|\ge1$...

Уточните, пожалуйста, равную чему?

-- Вт дек 08, 2009 19:25:49 --

Можно ли взять в качестве этой основной функции $exp(-0,5|x|)$? Так интеграл от $exp(x)*exp(-0,5|x|)$ вроде как расходится.

[Gafield]

Можно, и даже $e^{-|x|}$, только при $|x|\ge1$.

[Sayid]

Gafield
Спасибо Вам большое!

У меня еще вопрос.
Т.к. $D$ (множество основных функций) плотно в $S$ (множество основных функций медленного роста), то можно взять последовательность функций из $D$, предел которых лежит в $S$, и подействовать на них экспонентой, и в результате получить противоречие с леммой Шварца.
Какую последовательность можно взять?

Лемма Шварца:
Для того, чтобы линейный функционал $f$ на $S$ принадлежал $S'$ (т.е. был непрерывным на $S$), необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа $C>0$ и $p>=0$, $p$ - целое, что для любой $\phi\in S$ справедливо неравенство
$|(f, \phi)| <=C||\phi||_p$,
где $||\phi||_p = sup(1+|x|)^p|D^\alpha\phi(x)|$, супремум по $|\alpha|<=p, x<=R^n$

[Gafield]

Берем неотрицательную шапочку $\phi$ и начинаем сдвигать вправо: $\phi_n(x)=\phi(x-n)$, $n=1,2,\ldots$. Пусть для какого-то $p$ неравенство верно. Тогда норма $\|\phi_n\|_p$ растет степенным образом при $n\to\infty$, а $(\exp,\phi_n)$ экспоненциально.

[Sayid]

Большое спасибо за активность. Непонятно, почему норма основной функции будет расти полиномиально. Судя по графику первой производной "шапочки", в точке {0} (если ее не сдвигать. В сдвинутых точках, понятно, будет то же) она обнуляется. Поэтому сколько не бери модель от производной. все равно в точке {0}, она 0. Поправьте меня, пожалуйста, если я не прав =)

[Gafield]

А почему в нуле? Супремум берется по прямой. При сдвиге множитель $(1+|x|)^p$ полиномиально растет. Скажем, если ${\text supp}\, \phi\in[-1,1]$ и $\|\phi\|_p=C$, то $\|\phi_n\|_p\le C (n+1)^p$.

[Sayid]

Да, точно. Большое Вам спасибо!!!!

[donny]

Идея то достаточно банальная, а именно построим функцию $\varphi (x)$ которая убывает как экспонента :
Например, пусть $ \varphi(x) = \exp(-x)$, при $ $x > 1 $$. На остальные значения продолжим по непрерывности, усредним, разбиваем единицу и умножаем на бесконечно дифференцируемую срезку нужные части. В итоге получаем нужную функцию.

[AD]

Ставьте слеши перед тригонометрическими функциями: $sinx$ vs. $\sin x$.

$expx$ vs. $\exp x$.

Зведочка обозначает свёртку, не используйте ее вместо умножения, хочется умножить - используйте "$\cdot$" или "$\times$"

"$\cdot$" или "$\times$"

Бесконечность пишется так: $\infty$

$\infty$