2 задачи по функциональному анализу

[Fsb4000]

1) Найти норму f:

$$ f=\dfrac {x(1)} 3 - \dfrac {x(0)} 3 $$

Норма определена ,как $||x||= sup_{t \in [0,1]}|x(t)|+ sup_{t \in [0,1]}|x'(t)| $
$||f||=sup_{||x(t)||\leqslant 1}|f(x)| $

2)Пусть M множество выпуклых функций на [0;1]. $C_{[ x ,1- x]}$, множество непрерывных на $[ x ,1- x]$, x $\in$ (0;0,5). Докажите, что M в пересечение с $C_[x,1-x]$ есть нигде не плотное множество.( множество А нигде не плотно, если его замыкание не содержит внутренних точек)

Вот что получилось:
1)

$$|f(x)|=|\dfrac {x(1)} 3 - \dfrac {x(0)} 3 |\leqslant |\dfrac {x(1)} 3|+ |\dfrac {x(0)} 3 |\leqslant |\dfrac {x(1)} 3 |+ |\dfrac {x(0)} 3| +|\dfrac {x'(1)} 3| +| \dfrac {x'(0)} 3| \leqslant \dfrac 1 3 (||x(0)||+||x(1)||) $$

$$||f|| \leqslant \dfrac 2 3$$

Теперь возьмем $x(t)=2 K(t)-1$, где К(t) функция Кантора. Норма $x(t)=2 K(t)-1$ равна 1,так как максимальное по модулю значение функции равно 1, а производная равна 0. $f(x)=\dfrac 2 3$.Следовательно $||f||=\dfrac 2 3$.
2) Даже идей нет.....

[AD]

Еще актуально?

Fsb4000 в сообщении #268855 писал(а):

Теперь возьмем $x(t)=2 K(t)-1$, где К(t) функция Кантора. Норма $x(t)=2 K(t)-1$ равна 1,так как максимальное по модулю значение функции равно 1, а производная равна 0.

Ну нееет, это нечестно так. Скорее всего, имеется ввиду пространство $C^1[0,1]$ (нормы - они не сами по себе, а всегда на каких-то пространствах), которому лестница Кантора не принадлежит. То есть Вы забыли о тех весьма многочисленных точках, где производной нет вообще.

Помимо того, что Ваша выкладка выглядит бесконечно странной (что такое в Вашем понимании норма числа (а $x(0)$ - это число) - боюсь вообразить), так я могу предложить лучшую оценку: по теореме Лагранжа $x(1)-x(0)=x'(\theta)(1-0)$, откуда норма не больше $\frac13$. А может и она не точна? Сейчас чего-то не соображу.
_________________

По второй задаче. Попробуйте такую формулировку: Вам нужно доказать, что в каждом шарике в этом Вашем $C[x,1-x]$ содержится подшарик, свободный от выпуклых функций. Что такое шарик? Это такая полоска фиксированной высоты вокруг графика какой-то функции. Вам нужно в этой полоске провести какую-нибудь кривую настолько кривую, чтобы в маленькой полоске вокруг нее не могли жить выпуклые функции. Представили, нарисовали? Тогда дальше такой план. В большой полоске берем квадратик, целиком в ней лежащий, а в нем рисуем вот такое что-нибудь: $/\backslash/\backslash/$, а потом дорисовываем эту гармошку до полноценной функции на $[x,1-x]$. Это будет центр подшарика. А радиус выберем меньше трети высоты гармошки. Тогда любая функция в этом шарике будет вынуждена бежать вдоль гармошки, и в вершинках гармошки нарушится выпуклость.

Может и слишком сложно, но наглядно