Найти значение определённого интерала

[ozhigin]

Необходимо решить задание, спихнув это к Гамма,Бета функциям
Никак не получается, что нужно заменить? то пределы не те,то ещё что!
может опечатка в книге?

$$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[4] {x(1-x)^3}} {(x+1)^3} dx$$

[Полосин]

Сделайте замену $t=2x/(1+x)$.

[ozhigin]

Допустим ,а откуда до неё догадаться?

[Полосин]

Сначала - стандартная замена $x=y/(y+1)$, затем $t=2y$, а там уже ясно будет.

[ozhigin]

и интеграл можно будет вычислить через гамма или вета функцию?

[Полосин]

Полученный в результате указанных замен интеграл сводится к бета-функции простой заменой (какой - догадайтесь сами).

[ozhigin]

может я опять туплю ,но не получается нормального ответа как в Кудрявцеве
получилось

B -бета-функция
G -гамма- ф-ия

$$B(3/2;7/4)=\frac{G(3/2)G(7/4)} {G(13/4)}=\frac{\sqrt{\pi}G(7/4)} {G(13/4)}$$

дальнейшие попытки привести эту дробь к "безгаммовому" значению не увенчались успехом

[Cave]

$\Gamma(x + 1) = \ldots$

[Полосин]

У вас получилось неправильно. Сделайте замену $t=2x/(1+x)$, затем воспользуйтесь формулой $\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi/\sin(\pi x)$.

[ozhigin]

имено так и сделал,перепроверю