Решения уравнения Ферма в произвольной степени (B.R.SH.)

[Ruslan Bahaev]

1. Решить уравнение $x^n+y^n=z^n$


$x$:$y$-произвольно

$z=\left(x\sqrt[n]{1+\left(\frac{R}{R+1}\right)^n}$

$R=\frac{y}{x-y}$

$z=\left(x\sqrt[n]{2-\frac{1}{R+1}}\right)$

$R=\frac{y^n}{x^n-y^n}:$


2. Решить уравнение $x^n+y^n=z^n$

$x=z\sqrt[n]{\frac{R^2}{(R+1)^2}}$

$y=z\sqrt[n]{\frac{2R+1}{(R+1)^2}}$

$z=$ произвольно


3. Решить уравнение $x^n+y^n=z^n$


$z=c\sqrt[n]{\frac{R^n+(\sqrt{2R+1})^n}{(R+1)^n}}$
$R=\frac{x}{c-x}$
$c=\sqrt{x^2+y^2}$
$xy$ произвольно: а может и натуральное


4.Решить уравнение
Для решения уравнения Ферма $x ^n+y^n=z^n $ дополним его двумя дополнительными уравнениями, что позволит нам решит получившуюся систему


$ \frac{y^n+x^n}{x^{n}y^{n}}=1$; $xy=z$ решение данной системы приведено ниже.
$z=z$
$x=\frac{\sqrt[n]{z^n\pm\sqrt{z^{2n}-4z^n}}}{\sqrt[n]{2}}$
$y=\frac{\sqrt[n]{z^n\mp\sqrt{z^{2n}-4z^n}}}{\sqrt[n]{2}}$
$n>2 $$z>2$


5. Решить уравнение $x^n+y^n=z^n$

$x=x$
$у=\frac{x}{\sqrt[n]{x^n-1}}$
$z=\frac{x^2}{\sqrt[n]{x^n-1}}$


6.Решить уравнение $x^n+y^n=z^n$
$x=\sqrt[n]{R}$
$y=\sqrt[n]{\sqrt{R}}$
$z=\sqrt[n]{R+\sqrt{R}}$


7.Решить уравнение $x^n+y^n=z^n$
$x=\sqrt[n]{R-m/n}$
$y=\sqrt[n]{\pm\sqrt{R}}$
$z=\sqrt[n]{R\pm\sqrt{R}}$


8.Решить уравнение $x^n+y^n=z^n$
$z=(a+b)$
$x=a\sqrt[n]{\frac{R^2(2R+1)^n}{(R+1)^{n+2}}}$
$y=a\sqrt[n]{\frac{(2R+1)^{n+1}}{(R+1)^{n+2}}}$
$R=\frac{b}{a-b}$
$a;b$ произвольно$a>b$


9.Решить уравнение $x^n+y^n=z^n$
$z=(a-b)$
$x=a\sqrt[n]{\frac{R^2}{(R+1)^{n+2}}}$
$y=a\sqrt[n]{\frac{(2R+1)}{(R+1)^{n+2}}}$
$a;b$ произвольно
$R=\frac{b}{a-b}$
$a>b$

Подставив эти значения и произведя алгебралогические преобразования. Получим выражение для бинома Ньютона.

10) $(x+y)^n=1/2\left(\frac{x^n(2R+1)^n}{(R+1)^n}+\frac{y^n(2R+1)^n}{R^n}\right)$
11) $(x-y)^n=1/2\left(\frac{x^n}{(R+1)^n}+\frac{y^n}{R^n}\right)$ $R=\frac{y}{x-y}$ $x>y$


Выражение суммы и разности иррациональных величин.
12) $\sqrt[n]{x}+\sqrt [n]{y}=\sqrt[n]{1/2\left(\frac{x(2R+1)^n}{(R+1)^n}+\frac{y(2R+1)^n}{R^n}\right)}$


13) $\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{1/2 \left(\frac{x}{(R+1)^n}+\frac{y}{R^n}\right)}$
$R=\frac{1}{\sqrt[n]{x/y }-1}$ $x>y$
14) $\sqrt{x}\pm\sqrt{y}=\sqrt{x\pm2\sqrt{xy}+y}$


Выражение тригонометрических функций через параметр-R


15) $\sin=\frac{R}{R+1}$
$\cos=\frac{\sqrt{2R+1}}{R+1}$


Позвольте предложить задачу: Эта задача с традиционной точки зрения математической логики не решаема. Однако, воспользовавшись одним из приведенных решений, вы легко решите ее в двух-трех строках.

Задача

Вычислить объем части шара, ограниченного основанием вписанного конуса, если высота конуса равна h=4


Дополнение:

Девять версий доказательства теоремы Ферма:

Прилагаемые версии основаны на двух теоремах: из работы автора (геометрия чисел III) и теореме Пифагора. Выбранная форма доказательства в виде решения задач автору представляется наиболее оптимальной и позволяет быть максимально кратким (что написано в знаках – в знаках должно быть разрешено)

Теорема 5. (Рабочий вариант без формулировки)
Для произвольных (х, у )
1) $x=\frac{сR}{R+1}$

2) $y=\frac{c\sqrt{2R+1}}{R+1}$

3) $\frac{R}{R+1}+\frac{\sqrt{2R+1}}{R+1}=\frac{x+y}{c}$

4)$\left[\frac{R}{R+1}\right]^n+\left[\frac{\sqrt{2R+1}}{R+1}\right^n=\frac{x^n+y^n}{c^n}$

$R=\frac{x}{c-x}$ $c=\sqrt{x^2+y^2}$




Задача 1: Выразить сумму переменных (x,y) в произвольной степени (x,y) –натуральные числа


Решение:

$x^n+y^n=\left[c\sqrt[n]{\frac(x^n+y^n}{c^n}\right]^n$

Приняв $z=\left[c\sqrt[n]{\frac{x^n+y^n }{c^n}}\right]^n$
Приведенная формула верна для всех действительных чисел и позволяет определять z для всех произвольных (x,y) в произвольной же степени. Доказывать, что z не может выражаться натуральным числом при $n>2$ ерное нет необходимости.



Задача 2. Определить область значения (z) в уравнении $x^n+y^n=z^n$ (x,y) –натуральные числа


Решение.

Преобразуем уравнение и напишем его в виде $\left[x\sqrt[n]{2-\frac{1}{R+1}}\right]^n=z$
$R=\frac{y^n}{x^n-y^n}$ $x^n>y^n$
Следовательно z определен на интервале $x<z<x\sqrt[n]{2-\frac{1}{R+1}}$ или $x<z<\sqrt[n]{2}x$
$\sqrt[n]{2}x$ - максимальное значение. На этом интервале есть одно целое число $(x+1)$ Допустим что $z=(x+1)$ Т.е., $(x+1)^n=\frac{(x(2R+1))^n}{2(R+1)^n}+\frac{(2R+1)^n}{2R^n}$ ; $R=\frac{1}{x-1}$
Т.е., $x=\frac{x(2R+1)}{\sqrt[n]{2}(R+1)}$ ; $y=\frac{(2R+1)}{\sqrt[n]{2}(R+1)}$
Что не соответствует условию задачи. Это означает, что z не имеет целых значений на интервале $x<z<\sqrt[n]{2}x$ для натуральных x,y .




Задача 3. Выразить отношение переменных x, y, z в уравнении $x^n+y^n=z^n$ для произвольного z – (z-натуральное число)

Решение.

Запишем уравнение в виде $x^{(n/2)^2}+y^{(n/2)^2}=z^{(n/2)^2}$

$x=z\sqrt[n]{\frac{R^2}{(R+1)^2}}$ ; $y=z\sqrt[n]{\frac{2R+1}{(R+1)^2}}$ Подставив значения x,y в уравнение, имеем $\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{(c^2)}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n$
Формула выражает $z^n$ в виде суммы слагаемых в произвольной степени

$z=a+b$ $c=\sqrt{a^2+b^2}$ и отношение переменных в уравнении равно $\frac{x^n}{z^n}=\frac{a^2}{c^2}$ $\frac{y^n}{z^n}=\frac{b^2}{c^2}$




Приведенная методика использования теоремы(5) позволяет решать уравнения трех неизвестных. $x^n+y^m=z^c$ $x=\sqrt[n]{\frac{z^cR^2}{(R+1)^2}}$ $y=\sqrt[m]{\frac{z^c(2R+1)}{(R+1)^2}}$ (z;R – произвольные) (ответ для Maт из Краснодара)



Задача 4.Определить $y^n$ в уравнении $y^n+x^n=z^n$ если $x^n$ и $z^n$ произвольные натуральные числа.

Решение.

Для произвольных $x^n$ и $z^n$ есть $y=z\sqrt[n]{1-\frac{R^n}{(R+1)^n}}$
Т.е., уравнение запишется в виде $y=z\sqrt[n]{1-\frac{R^n}{(R+1)^n}}$
Можно сколь угодно долго изощряться в алгебрологических действиях, однако выразить натуральное y возможно только при n=2 $y=\sqrt{z^2-x^2}=y$




Задача 5. Выразить $z^n$ в виде суммы двух слагаемых в той же степени.


Решение

$z=a+b$ $c=\sqrt{a^2+b^2}$

$x=\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n$

$y=\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n$

Т.е.,$\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n=z^n$
Если a=b, $z^n=\left[\frac{z}{\sqrt[n]{2}}\right]^n+\left[\frac{z}{\sqrt[n]{2}}\right]^n$


Т.е., $(a+b)^n=\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n$


Остальные версии в виде решения геометрических задач в следующих сообщениях.

[serval]

Столь изумительного доказательства даже тут не было. Осталась малость - доказать, что $x,y,z$ - натуральные.

[Mathusic]

Ruslan Bahaev в сообщении #268761 писал(а):

Решить уравнение: $x^n+y^n=z^n$

1 решение:

$x^n+y^n=z^n$

$x$:$y$-произвольно

$$...............$$

$zR$ произвольно


остальные решения будут представлены сразу же после перевода их в ТЕХ!

Он хотел обозначать выражать,
но не знал с чего начать...
Вот такие перлы давят дух познания в ферматистах. Некоторым, наверно, стало уже стыдно.
Вот не менее плохое открытие: множество решений уравнения ферма есть множество $\{(x,y,z)|x^n+y^n=z^n\}, n>2$. Только как доказать, что оно пусто (при нужных ограничениях)?

[grisania]

Согласно правилам форума надо предоставить док-во ВТФ для тройки.
Были, есть и будут специфические ....

[--mS--]

grisania в сообщении #268877 писал(а):

Согласно правилам форума надо предоставить док-во ВТФ для тройки.
Были, есть и будут специфические ....

Плохо читаете правила. Там написано "любые попытки доказательства" (читай - теоремы Ферма). ТС не пытается доказывать теорему Ферма, он её опровергает

[Yarkin]

Ruslan Bahaev в сообщении #268761 писал(а):

остальные решения будут представлены

также четко и ясно?

[grisania]

--mS-- в сообщении #269209 писал(а):

grisania в сообщении #268877 писал(а):

Согласно правилам форума надо предоставить док-во ВТФ для тройки.
Были, есть и будут специфические ....

Плохо читаете правила. Там написано "любые попытки доказательства" (читай - теоремы Ферма). ТС не пытается доказывать теорему Ферма, он её опровергает

Поскольку я не пытаюсь доказывать теорему Ферма, то мне читать правила нет надобности . Меня интересует только теорема Ферма для тройки, я скромный и не специфический .... .

[serval]

Цитата:

Меня интересует только теорема Ферма для тройки, я скромный и не специфический

Зато ТС интересует ВТФ для любых чисел, а не только для натуральных

[grisania]

serval в сообщении #270089 писал(а):

Цитата:

Меня интересует только теорема Ферма для тройки, я скромный и не специфический

Зато ТС интересует ВТФ для любых чисел, а не только для натуральных

Suum cuique - Jedem das Seine - Каждому свое

[Ruslan Bahaev]

Отредактировано

[venco]

А чем вам не нравится универсальное решение $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$?

[Ruslan Bahaev]

Отредактировано. Материал в самом первом сообщении.

[PAV]

Тема перемещена из раздела "ВТФ" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

(отсутствует хоть сколько-нибудь внятная постановка задачи и содержание)