Вычислить интеграл по замкнутому контуру (ТФКП)

[rar]

Проверьте пожалуйста. Если что не так объясните пожалуйста.

Вычислить интеграл $\int\limits_{C} \frac{\sin{(z+1)}}{z^2-1} dz$ по замкнутому контуру $|z|=2$ с помощью вычетов.

Решение:

$z=1$ и $z=-1$ - полюсы 1-го порядка.

$$Res[f(x); 1]=\frac{\sin{(z+1)}}{(z^2-1)'}=\frac{\sin{(z+1)}}{2z}=\frac{\sin{2}}{4}$$

$$Res[f(x); -1]=\frac{\sin{(z+1)}}{2z}=-\frac{\sin{0}}{2}=0$$

$$\int\limits_{|z|=2} \frac{\sin{(z+1)}}{z^2-1} dz=2\pi i\sum\limits_{k=1}^2 Res[f(z); a_k]=2\pi i\left(\frac{\sin{2}}{4}+0\right)=\pi i\frac{\sin{2}}{2}$$

Ответ: $\pi i\frac{\sin{2}}{2}$

[Sonic86]

$z=-1$ - не полюс, а устранимая особая точка, так что ее в расчет принимать нет необходимости.
Для $z=1$ верно, только надо будет уметь объяснить, откуда там производная берется.

[rar]

Sonic86 в сообщении #268658 писал(а):

$z=-1$ - не полюс, а устранимая особая точка, так что ее в расчет принимать нет необходимости.
Для $z=1$ верно, только надо будет уметь объяснить, откуда там производная берется.

Что значит устранимая точка? Не могли бы ткнуть пальцем где у меня не так?

[ewert]

Ну как это верно, когда в два раза ошибнуто.

[Sonic86]

rar
Устранимая особая точка - точка $z_0$ для $f(z)$, в которой $f(z)$ не определена, но $\lim\limits_{z \to z_0}f(z)$ определен. Тогда полагают $f(z_0)$ равной этому пределу и функция становится аналитичной в этой точке, все, с ней проблем нет.

Вы как находите вычеты? Там же формула есть. Просто считайте по ней и все.

[rar]

Давайте я заново сделаю.

Контур $C$ - это окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=2$.

Обе точки являются полюсами 1-го порядка и находятся внутри контура.

$$Red[f(z); 1]=\lim_{z\to 1}(z-1)\frac{\sin{(z+1)}}{z^2-1}=0$$

Что-то не понял, почему ноль получился?

[Sonic86]

rar писал(а):

Обе точки являются полюсами 1-го порядка

.
Это неверно, $\lim\limits_{z \to -1} \frac{\sin (z+1)}{z^2-1} = \lim\limits_{z \to -1} \frac{1}{z-1} = - \frac{1}{2} \neq \infty$, поэтому $-1$ - это не полюс.
Вычет в $z=1$ Вы неверно посчитали: $z-1$ сократите и у Вас получится $\frac{\sin 2}{2}$.
З.Ы. Прикол в том, что у Вас вычисленные значения в самом начале правильны, а рассуждения - не совсем.

[rar]

Переписал. Посмотрите пожалуйста.

Контур $C$ - это окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=2$.

Имеем особые точки внутри контура $C$: $z=1$ и $z=-1$

$\lim\limits_{z \to -1} \frac{\sin (z+1)}{z^2-1} = \lim\limits_{z \to -1} \frac{1}{z-1} = - \frac{1}{2} \neq \infty$ - точка $-1$ - не полюс
$\lim\limits_{z \to 1} \frac{\sin (z+1)}{z^2-1} = \lim\limits_{z \to 1} \frac{1}{z-1} = \frac{1}{0} =\infty$ - точка $1$ - полюс

$$Red[f(z); 1]=\lim_{z\to 1}[(z-1)\frac{\sin{(z+1)}}{z^2-1}]=\lim_{z\to 1}\frac{\sin{(z+1)}}{z+1}=\frac{\sin{2}}{2}$$

Поэтому:

$$\int\limits_{|z|=2} \frac{\sin{(z+1)}}{z^2-1} dz=2\pi i\sum\limits_{k=1}^1 Res[f(z); a_k]=2\pi i\frac{\sin{2}}{2}=\pi i\sin{2}$$

Ответ: $\pi i\sin{2}$

Правильно?

[Sonic86]

Прекрасно правильно.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #268686 писал(а):

rar писал(а):

Обе точки являются полюсами 1-го порядка

.
Это неверно,

Это верно в том смысле, что обе точки являются не более чем полюсами первого порядка, и тем самым рассуждение вполне корректно и даже более того -- вполне разумно (хоть и не обязательно). Если учесть, конечно, что корень знаменателя в тех точках -- простой.