Найти вычеты функции

[rar]

Найти вычеты функции $f(z)=\frac{1}{(z^2-3z+2)^2}$ во всех особых точках с помощью пределов.

Решение:

$$f(z)=\frac{1}{(z^2-3z+2)^2}=\frac{1}{(z-1)^2(z-2)^2}$$

$z=1$ и $z=2$ - полюсы функции 2-го порядка.

$$res_{1}f(z)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{\limits{z \to 1}}{\frac{d^{2-1}\left[(z-1)^2f(z)\right]}{dz^{2-1}}}=\lim_{\limits{z \to 1}}{\left[\frac{1}{(z-2)^2}\right]_{z}^{'}}=2$$

$$res_{2}f(z)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{\limits{z \to 2}}{\frac{d^{2-1}\left[(z-2)^2f(z)\right]}{dz^{2-1}}}=\lim_{\limits{z \to 1}}{\left[\frac{1}{(z-1)^2}\right]_{z}^{'}}=-2$$

Ответ: вычеты функции есть $2$ и $-2$.

[Sintanial]

Так в чем заключается вопрос ? Ну исходя из того что сумма всех вычетов должна равняться 0 то скорее всего вы нашли верно вычеты =)

[rar]

Я хотел, узнать, все ли я делаю верно или нет.

[ewert]

Верно.

[rar]

А доказывать что выбранные точки являются действительно полюсами надо?

[Sonic86]

Строго говоря надо, просто зачастую это очевидно, поэтому часто этого не делают. Если неочевидно, тогда обязательно доказывать.

[ewert]

Дело в том, что если Вы не угадали с полюсностью или не угадали кратность того полюса, то у Вас предела вовсе никакого не выйдет или (соотв.) он выйдет равным бесконечности. В этом смысле та формула -- самокорректирующаяся.