Проверить (комплексные числа)

[rar]

Найти все комплексные значения выражения $(-2+2i)^{1/3}$ и изобразить их на комплексной плоскости.

Решение:

$z=(-2+2i)^{1/3}=\sqrt[3]{-2+2i}$

Найдем модуль и аргумент числа $-2+2i$.

Модуль: $|-2+2i|=\sqrt{8}$
Аргумент: $\tg{\phi}=-1\Longrightarrow\phi=\frac{3\pi}{4}$

Общая формула:
$z_k=\sqrt[6]{8}(\cos{\frac{3\pi/4+3\pi k}{3}}+i\sin{\frac{3\pi/4+3\pi k}{3}}), k=0,1,2$

1) Для $k=0$ получаем: $z_0=1+i$
2) Для $k=1$ получается какой-то сомнительный ответ: $z_1=\sqrt[6]{8}\cos{\frac{11\pi}{12}}+i\sqrt[6]{8}\sin{\frac{11\pi}{12}}$
3) Для $k=2$ тоже: $z_2=\sqrt[6]{8}\cos{\frac{19\pi}{12}}+i\sqrt[6]{8}\sin{\frac{19\pi}{12}}$

Чего-то меня смущают эти два последних ответа. Как же мне их изображать на комплексной плоскости? Проверьте пожалуйста.

[Sonic86]

rar
В формуле для $z_k$ период нужно писать не $3 \pi k$, а $2 \pi k$.
И потом, у Вас был корень 3-й степени, а потом вдруг стал 6-й степени. Это с чего вдруг?
Аргументы, кратные $\frac{\pi}{12}$ правильные, ничего не поделаешь. Нужно либо рисовать угол $\frac{\pi}{12}$, либо рисовать исходя из того, что все точки $z_k$ образуют на плоскости правильный треугольник.

[ewert]

rar в сообщении #268608 писал(а):

Проверьте пожалуйста.

Правильно (с точностью до опечатки $3\pi k$).

[rar]

Не понял приколов, а что, уже сообщение нельзя исправить. Куда-то кнопка правки подевалась...

Sonic86 в сообщении #268626 писал(а):

И потом, у Вас был корень 3-й степени, а потом вдруг стал 6-й степени. Это с чего вдруг?

Разве не так: $\sqrt[3]{\sqrt{8}}=\sqrt[6]{8}$?

[Sonic86]

rar Через час уже не исправляется.
Пардон, я сам забыл про корень, извините.

[bot]

А куда моё пропало? Видимо ушёл не дождавшись.
Я писал:
1) $\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}$, так что здесь ошибки нет.
2)

rar в сообщении #268608 писал(а):

Аргумент: $\tg{\phi}=-1\Longrightarrow\phi=\frac{3\pi}{4}$

Не следует - вычисление аргумента только лишь по значению тангенса чревато риском ошибиться на $\pi$. Например, для $2-2i$ тангенс тот же, а аргумент равен $-\pi/4$. Здесь ошибки не произошло, но неясно по случайности или нет.