Расходящаяся последовательность

[HKS]

Нужно доказать расходимость последовательности $\{x_n\}$

$$\{x_n\}=\frac{n\cos\pi n-1}{2n}$$

Выписал несколько членов последовательности: $-1$; $\frac14$; $-\frac23$; $\frac38$
Получаются две монотонные подпоследовательности.
Как найти такое $a$, при котором $|x_n-a|>\varepsilon$? (если я, конечно, вообще "по тому пути пошёл")

[Хорхе]

Должно быть так (у Вас не хватает пробела в аргументе косинуса):

$$\{x_n\}=\frac{n\cos\pi n-1}{2n}$$

Собственно, минус один в числителе никак не влияет. А вот почему оставшаяся последовательность ($\frac12\cos \pi n$) не сходится, можно и вправду понять, выписав несколько членов.

[HKS]

Цитата:

Должно быть так (у Вас не хватает пробела в аргументе косинуса):

$$\{x_n\}=\frac{n\cos\pi n-1}{2n}$$

Да, именно так.

Цитата:

А вот почему оставшаяся последовательность ($\frac12\cos \pi n$) не сходится, можно и вправду понять, выписав несколько членов.

Оставшаяся последовательность $\frac1{2n}\cos \pi n$.
Если бы $\frac12\cos \pi n$ это было бы просто.

[Sekhmet]

HKS в сообщении #268544 писал(а):

Нужно доказать расходимость последовательности $\{x_n\}$

$$\{x_n\}=\frac{n\cos\pin-1}{2n}$$

Выписал несколько членов последовательности: $-1$; $\frac14$; $-\frac23$; $\frac38$
Получаются две монотонные подпоследовательности.
Как найти такое $a$, при котором $|x_n-a|>\varepsilon$? (если я, конечно, вообще "по тому пути пошёл")

А если попытаться найти пределы подпоследовательностей? Например, у них разные пределы, тогда, очевидно, что предел исходной последовательности не существует.

[ewert]

HKS в сообщении #268585 писал(а):

Если бы $\frac12\cos \pi n$ это было бы просто.

Это ровно так просто и есть. Просто разделите дробь почленно.

[HKS]

Точно, не заметил
Все, решил, спасибо.

[Профессор Снэйп]

Хорхе в сообщении #268548 писал(а):

Должно быть так (у Вас не хватает пробела в аргументе косинуса):

$$\{x_n\}=\frac{n\cos\pi n-1}{2n}$$

Тогда уж

$$ \left\{x_n = \frac{n\cos\pi n-1}{2n} \right\} $$