Непонятная окружность (вписанная в четырехугольник)

[Sasha2]

Вот есть такая задача.
Дословно:
Доказать, что в четырехугольнике, описанном около окружности (и таком, что окружность заключена внутри него) сумма двух его противоположных сторон равна сумме двух других противоположных сторон.

Задачу решать не нужно. Это я сам.
Поясните только, пожалуйста, следующее. Меня смущают слова, приведенные в скеобках. Точнее я не понимаю для чего они даны. Неужели может быть как то под другому. В смысле окружность вписана в четырехугольник и не находится внутри него. Короче, для чего даны эти слова в скобках?

[aVague]

yr мало ли какое пространство рассматривается...

[Sasha2]

Да какое там пространство.
Задача из школьного учебника.

[gris]

Где Вы такие учебники отыскиваете?
Интересно посмотреть на описанный четырёхугольник, расположенный внутри окружности, хотя бы частично. Самопересекающийся? Не плоский? Не выпуклый? Не хватает воображения.
Погорелов любит давать в виде задач то, что у других авторов даётся в виде теорем.

[Sasha2]

Задача эта дана в курсе геметрии Адамара (Том 1, Планиметрия).
Я сам тщился пытаясь представить такие четырехугольник и такую окружность, ничего не получилось.

[gris]

Надо посмотреть. Хотя точки касания лежат не внутри четырёхугольника, ну да ладно

-- Вс дек 06, 2009 11:26:21 --

Да, действительно. Потом идёт обратная теорема о выпуклом четырёхугольнике. Может быт Адамар хотел,, чтобы ученики задумались, а может ли описанный четырёхугольник быть невыпуклым?

[Sasha2]

Да здесь дело то и не в выпуклости. Ясно, что любые две стороны - это две касательные к этой окружности. А точка пересечения любых двух общих касательных к окружности (если таковая имеется) всегда лежит вне этой окружности.

[gris]

Но интересно продолжение задачи:
"Если неизвестно, лежит ли окружность внутри четырёхугольника, то существует пара сторон...
Не здесь ли разгадка?
Что называется описанным многоугольником? что касается - сторона или прямая, её содержащая?

[Sasha2]

Нет, ну согласно общепринятой методе,
Многоугольник вписан в кривую, если все его вершины лежат на этой кривой.
И кривая описана около многоугольника, если каждая из его сторон касается этой кривой (о продолжениях речи не идет, хотя бы в элементарном курсе.)

[gris]

Последнее предложение неточно - надо "кривая вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон".
А Вы невнимательно читаете. Например, в п. 94 определяется вневписанная в треугольник окружность как окружность, касающаяся всех его сторон и лежащая вне треугольника.
Я уже построил такой 4-угольник :задирая нос:

[Sasha2]

Ну не всех сторон, а его продолжений, если уж точнее.
И если уж до конца быть точным, что задача то ведь там сперва ставилась, не как окружность соотносится с треугольником, а как окружность соотносится с тремя прямыми.
Интересно взглянуть на окружность, вневписанную в четырехугольник.

[gris]

У Адамара есть хорошие задачи, но как основной учебник для изучения геометрии мне он не очень...

[Sasha2]

А вот как. Получилось действительно, что окружность, вневписанная в четырехугольник (если таковая сущесствует), не касается ни одной из его сторон.

P.S. А что, есть разве лучше учебники, чем двухтомный учебник Адамара?
Уж во всяком случае
а) Гораздо больше материала содерржит, чем любой Анастасян или Погорелов и даже больше чем Кисилев.
Лучшего ведь просто нет.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #268420 писал(а):

Получилось действительно, что окружность, вневписанная в четырехугольник (если таковая сущесствует), не касается ни одной из его сторон.

А если четырёхугольник не выпуклый?

[Sasha2]

Да тогда оказывется может и касаться.
Понял. Спасибо.
Короче тут есть такая субъективная трудность, ну в смысле обычно вписанная окружность мыслится как нечто лежащее внутри другого, а тут получается не так. Просто свыкнуться, освоиться надо.