задача по обобщенным функциям

[Denisia]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с задачей:показать, что в смысле теории распределений

$$\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)\left(\frac{1}{x+iy}\right)=2\pi\delta.$$

У меня получается ответ $4\pi\delta$. Арифметику вроде бы проверяла, может быть сам ход решения неверен?
Пробовала делать, используя то, что$\left(\frac{\partial f}{\partial x},\phi\right)=-\left(f,\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)$. Тогда для $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x+iy}\right)$ получим

$$\iint\limits_{R}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x+iy}\right)\phi(x,y)dxdy=-\iint\limits_{R}\frac{1}{x+iy}\frac{\partial\phi}{\partial x}dxdy=\\$$

Если разбить внутренний интеграл на 2 и перейти к пределу при $\varepsilon\rightarrow0$, то получим:

$$=-\int\limits_{R}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\left(\int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{x+iy}\frac{\prt\phi}{\prt x}dx+ \int\limits^{-\varepsilon}_{-\infty}\frac{1}{x+iy}\frac{\prt\phi}{\prt x}dx\right)dy=-\int\limits_{R}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\left(\left.\phi(x,y)\frac{1}{x+iy}\right|_{\varepsilon}^{+\infty}+\right.\\$$

$$\left.+\left.\phi(x,y)\frac{1}{x+iy}\right|^{-\varepsilon}_{-\infty}+\int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{\phi(x,y)}{(x+iy)^2}dx+\int\limits^{-\varepsilon}_{-\infty} \frac{\phi(x,y)}{(x+iy)^2}dx\right)dy=-\iint\limits_{R}\frac{\phi(x,y)}{(x+iy)^2}dxdy+\\$$

$$+i\int\limits_{R}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\left(-\frac{\phi(\varepsilon,y)}{y-i\varepsilon}+\frac{\phi(-\varepsilon,y)}{y+i\varepsilon}\right)dy.$$

Аналогичным образом можно получить, что

$$i\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{x+iy}\right)=\iint\limits_{R}\frac{\phi(x,y)}{(x+iy)^2}dxdy-i\int\limits_{R}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0} \left(-\frac{\phi(x,\varepsilon)}{x+i\varepsilon}+\frac{\phi(x,-\varepsilon)}{x-i\varepsilon}\right)dx.$$

$$i\int\limits_{R}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\left(-\frac{\phi(\varepsilon,y)}{y-i\varepsilon}+\frac{\phi(-\varepsilon,y)}{y+i\varepsilon}\right)dy=i\int\limits_{R}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\left(-\frac{[\phi(\varepsilon,y)-\phi(\varepsilon,0)+\phi(\varepsilon,0)](y+i\varepsilon)}{y^2+\varepsilon^2}+\frac{[\phi(-\varepsilon,y)-\phi(-\varepsilon,0)+\phi(-\varepsilon,0)](y-i\varepsilon)}{y^2+\varepsilon^2}\right)dy$$

$\int\limits_R\dfrac{\phi(\varepsilon,0)y}{y^2+\varepsilon^2}=0,$ пределы дробей $\dfrac{(\phi(\varepsilon,y)-\phi(\varepsilon,0))(y+i\varepsilon)}{(y^2+\varepsilon^2)}$ и $\dfrac{(\phi(-\varepsilon,y)-\phi(-\varepsilon,0))(y-i\varepsilon)}{(y^2+\varepsilon^2)}$ равны, значит интегралы от них взаимно уничтожаются. Останется лишь

$$-i\int\limits_Ri\varepsilon\left(\frac{\phi(\varepsilon,0)}{y^2+\varepsilon^2}+\frac{\phi(-\varepsilon,0)}{y^2+\varepsilon^2}\right)=(\phi(\varepsilon,0)+\phi(-\varepsilon,0))\left.\arctg\left(\frac{y}{\varepsilon}\right)\right|_{-\infty}^{+\infty}=\pi(\phi(\varepsilon,0)+\phi(-\varepsilon,0)),$$

что в пределе $2\pi\delta$.
Аналогично и $i\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{1}{x+iy}\right) =2\pi\delta$

[Gafield]

Тут много неточностей. Так писать не стоит:

Цитата:

$$\iint\limits_{R}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x+iy}\right)\phi(x,y)dxdy=-\iint\limits_{R}\frac{1}{x+iy}\frac{\partial\phi}{\partial x}dxdy$$

Первый интеграл справа

Цитата:

$$i\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{x+iy}\right)=\iint\limits_{R}\frac{\phi(x,y)}{(x+iy)^2}dxdy-i\int\limits_{R}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0} \left(-\frac{\phi(x,\varepsilon)}{x+i\varepsilon}+\frac{\phi(x,-\varepsilon)}{x-i\varepsilon}\right)dx.$$

может расходиться, поэтому нельзя рассматривать производные по $x$ и $y$ по отдельности.

Цитата:

Аналогично и $i\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{1}{x+iy}\right) =2\pi\delta$

Это тоже неверно. Если уж так делать, надо вырезать квадрат $[-\varepsilon,\varepsilon]^2$ и рассматривать сразу обе производные.
А вообще, равенство $\frac{\partial}{\partial\bar z}\frac1z=\pi\delta(0)$ обычно доказывается с помощью вырезания круга $|z|<\varepsilon$ и использования комплексных переменных. Можно и без комплексных обойтись, но это надо переходить к полярным координатам.