Полнота метрического пространства

[Jerich]

Вот такую задачку пытаюсь решить и пока не получается.
На пространстве всех многочленов задана метрика $\rho(P,Q)=\sup|P(x)-Q(x)|e^{-x^2}$ (супремум по всем вещественным числам). Является ли оно полным?

То что пределом фундаментальной последовательности будет непрерывная функция вроде бы понятно, но вот как показать что она не полином? Пример последовательности построить не получается

-- Вт дек 01, 2009 14:09:09 --

neverland, по-моему она не фундаментальна. А зачем множитель1/2?

[neverland]

ну да и я про тоже, а $Y_k=\sum\limits_{i=1}^{k}\left(\frac{x}{2})^i$?

[Jerich]

Спасибо, neverland.

[ewert]

Пусть $P_n(x)$ -- частичная сумма стандартного ряда Тейлора для $e^x$. Тогда $\displaystyle e^x=P_{n-1}(x)+{x^{n}e^{\theta x}\over n!}$, где $\theta\in(0;1)$. Соответственно, $\displaystyle \|e^x-P_{n-1}(x)\|\leqslant\sup\limits_{\theta,\;x}{|x|^{n}e^{\theta x-x^2}\over n!} \leqslant\sup\limits_{\theta\in(0;1)}{n^{n/3}\cdot e^{\theta^2/4}\over n!}={n^{n/3}\cdot e^{1/4}\over n!}\to0$ при $n\to\infty$. Т.е. $P_n(x)$ стремится к $e^x$ в этой норме, однако $e^x$ -- не многочлен. Иными словами, последовательность $P_n(x)$ фундаментальна, но не имеет предела в этом пространстве.

(множитель $n^{n/3}$ -- это оценка сверху для $x^{n}$, полученная очень грубым оцениванием корня уравнения $n+\theta x^2-2x^3$, дающего точку экстремума для числителя)