Числовой ряд, проверить сходимость

[JK.]

Проверить сходится или расходится ряд:

$$\sum\ \frac 1 {(3n+2)\ln^4(2n+9)}$$

В качестве достаточного условия наверно нужно использовать теорему сравнения, так как по Коши и Даламберу тут вряд ли что получится. Только вот с чем сравнить этот ряд?

[Cave]

Примените интегральный признак.

[ewert]

Пренебрегите всеми ненужными константами (только аккуратно -- за это придётся отчитываться). Т.е. замените общий член на эквивалентный. Потом -- просто интегральный признак.

[JK.]

Хм, тогда так:$\ F(n) = \frac 1 {(3n)ln^4(2n)}$?
На каком основании мы перешли от одного ряда к другому?

[ewert]

На основании 2-го признака сравнения -- того, что про эквивалентность общих членов.

И, кстати, недостаточно перешли: двойка под логарифмом -- явно лишняя. Впрочем, она не особо так и мешает.

[JK.]

Спасибо за объяснения!

[JK.]

Чтобы не создавать новою тему, решил дописать здесь.

$$\sum\ \frac {\arccos \frac {(-1)^n*n} {n+1}} {n^2+2}$$

При проверке необходимого условия получаем предел: $\lim\limits_{x \to \infty} \frac {arccos \frac {(-1)^n} {1+ \frac 1 n}} {n^2+2}$. Маткад ответа не даёт, хотя этот предел должен быть равен 0, так как умножаются ограниченная и бесконечно малая функции. Так ли это?

[ИСН]

Так.

[ewert]

А зачем проверять необходимое условие, когда достаточно сразу достаточное?... Поскольку арккосинус заведомо ограничен -- его можно спокойно проигнорировать, попытавшись доказать сразу абсолютную сходимость ряда.

[JK.]

Да, согласен с Вами, но преподаватель требует всегда проверять необходимое условие)

[ewert]

Тогда он не прав. Это экстремизьм. Хотя, конечно, с начальством не поспоришь.

[Tap]

У меня примерно тот же пример с арккосинусом. Здесь подразумевается его главное значение?