найти интеграл через вычеты

[aVague]

посчитать интеграл

$$\int \frac{dz}{(z^2-1)^2(z-3)^2}$$

при 2<|z|<4

точка 3 попадает в область, но для нее не подходит формула $\frac{f(a)}{g(a)'}$,тогда бы интеграл и был бы равен вычиту в этой точке

да и к другим точкам тоже . Что надо сделать в этом случае ? не раскладывать же эту дробь на простые

[Cave]

Примените формулу из Википедии, которая под заголовком "Limit formula for higher order poles".

[mitia87]

В заданную область попадает только 1 особая точка: $z = 3$. По основной теореме теории вычетов

$$\underset{2<|z|<4}{\int} \frac{dz}{(z^2-1)^2(z-3)^2} = 2\pi i \ \underset{z = 3}{res} \frac{1}{(z^2-1)^2(z-3)^2}. $$

Далее у вас полюс 2 порядка, тогда

$$\underset{z = 3}{res} \frac{1}{(z^2-1)^2(z-3)^2} = \left(\frac{1}{(z^2-1)^2} \right)' \biggl| _{z = 3}.$$

Все подставите - получите ответ.

[ewert]

Vague в сообщении #266894 писал(а):

точка 3 попадает в область, но для нее не подходит формула $\frac{f(a)}{g(a)'}$,тогда бы интеграл и был бы равен вычиту в этой точке

а он и равен, грубо говоря, тому самому вычету. Не сошёлся же свет клином на этой формуле. Попробуйте применить общую -- для вычета в кратном полюсе.

[aVague]

вопрос по той формуле для полюсов n-ого порядка: почему она дает другой результат нежели $\frac{-1}{64}$ в примере $\frac{1}{z^6(z-2)}$ в точке 0

подставляю $\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}f(z)z^6 $ будет $\frac{1}{(n-1)!}=1/120 что уже никак не даст 1/64

-- Ср дек 02, 2009 18:08:40 --

конечно можно посчитать и по другому через сумму всех полюсов ,но все же

[mitia87]

$\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n -1}}{dz^{n-1}}\left (\frac{1}{z - 2}\right ) = \frac{1}{(n-1)!} \frac{(n - 1)! (-1)^{n -1}}{(z - 2)^n} = \frac{(-1)^{n -1}}{(z - 2)^n} .$
$\underset{z = 0}{res} \frac{1}{(z-2)z^6} = \frac{(-1)^{6 -1}}{ 2^6} = \frac{-1}{64}.$
Так что все верно.