Равномерная сходимость функциональных последовательностей

[Ryabsky]

Задача вроде несложная, но не могу никак допереть.

Пусть функции $f_n(x), ~n \in \mathbb{N}$ интегрируемы на отрезке $[a;b]$, и пусть последовательность $\{f_n(x)\}$ равномерно ограничена на $[a;b]$, т.е.

$$\exists M>0~~~ \forall x \in [a;b]~~~ \forall n \in \mathbb{N}:~~~ |f_n(x)| \le M$$

Показать, что из последовательности$ \{F_n(x)\}$, где

$$F_n(x) = \int\limits_a^x f_n(t)\,dt, ~~~~ x \in [a;b],$$

можно выделить подпоследовательность $\{F_{n_k}(x)\}$, равномерно сходящуюся на отрезке $[a;b]$.

Как я понимаю, первая часть задачи дана для запудривания мозгов . Из первой части можно выяснить лишь то, что функции $F_n$ будут непрерывными (сразу следует из интегрируемости и ограниченности) и $F_n(a) = 0$. Иными словами: нужно показать, что из равномерно ограниченной последовательности непрерывных функций на $[a,b]$ можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность функций.
Очень напоминает всем известную теорему Больцано-Вейерштрасса, только вот подобный алгоритм построения подпоследовательности функций здесь непонятно как применять.
Есть у кого-нибудь какие-нибудь идеи?

[RIP]

Ryabsky в сообщении #266627 писал(а):

Иными словами: нужно показать, что из равномерно ограниченной последовательности непрерывных функций на $[a,b]$ можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность функций.

Это доказать не удастся, поскольку это, очевидно, неверно.
В качестве $n_k$ можно взять такую подпоследовательность, что при любом $x\in[a;b]\cap\mathbb Q$ существует предел $\lim_{k\to\infty}F_{n_k}(x)$. Тогда равномерная сходимость на отрезке доказывается по критерию Коши. Фиксируем $\epsilon>0$, выбираем конечную $\epsilon$-сеть из рациональных точек (для отрезка $[a;b]$). $|F_m(x)-F_n(x)|$ будет очень мало отличаться от $|F_m(x_0)-F_n(x_0)|$ при малом $|x-x_0|$. Надо выбирать $x_0$ из нашей $\epsilon$-сети.
Впрочем, можно сразу применить теорему Арцела--Асколи.

[Ryabsky]

Возможно ли подобрать такую подпоследовательность, что существовал бы предел $\lim\limits_{k \to \infty} F_{n_k}(x)$?
Можно поподробнее на эту тему?

[RIP]

Для одного $x$ такую подпослед-ть выбрать можно, поскольку посл-ть $F_n(x)$ ограничена. Поскольку рациональных чисел счётное число, то стандартной диагональной процедурой можно выбрать $n_k$, которая сгодится сразу для всех (сначала выбирается $n_k^{(1)}$ для первой точки, из неё выбирается подпосл-ть $n_k^{(2)}$ для второй точки, и т. д.; тогда $n_k:=n_k^{(k)}$).
А вообще, задача, похоже, на теорему Арцела--Асколи, в док-во которой уже запиханы все эти рассуждения.

[Ryabsky]

RIP в сообщении #266735 писал(а):

А вообще, задача, похоже, на теорему Арцела--Асколи, в док-во которой уже запиханы все эти рассуждения.

Если я не ошибаюсь, это имеет отношение к функциональному анализу?
Я к сожалению его еще не изучал, поэтому рассуждать в тех терминах у меня просто не хватит опыта
Если можно, поясните пожалуйста в терминах только лишь мат.анализа (непонятно, какой смысл имеют понятия как "диагональная процедура" и "$\varepsilon$-сеть", а уж в доказательстве указанной выше теоремы я понял только союзы и предлоги...).
Прошу прощения за излишнюю требовательность.

[ewert]

Задача явно ориентирована именно на применение теоремы Арцела. Все попытки доказать её "вручную" почти наверняка сведутся к тому же доказательству той теоремы (в одну сторону), но кустарными средствами. Поскольку вряд ли удастся воспользоваться равномерной ограниченностью производных $F$ иначе, чем равностепенной непрерывностью самих функций $F$. Говоря по существу.

У меня по этому поводу есть один вопрос в порядке оффтопика. RIP наверняка знает, а я то ли не знаю, то ли забыл. Как связана нильпотентность оператора с его компактностью?...