Задача на непрерывность (две противоположные точки Земли)

[IFRIT]

Не нашел на форуме такой задачи, так что...
Доказать, что на Земле найдутся две диаметрально противоположенные точки. в которых будет одинаковая температура и давление.
Относительно стандартная задачка на непрерывность.
В решении дошел до: рассмотрим все точки сферы на предмет их температур. Если темп. в точке равна темп. в противоположенной точке, то окрасим её в серый цвет, если больше - в белый, иначе - в черный. Таким образом вся сфера окрашена. Причем на границе раздела белого и черного будет серый (по непрерывности). Дальше, интуитивно понятно, что серые точки образуют некую замкнутую кривую (или, возможно, несколько). Аналогично делаем с давлением. Получив 2 замкнутые кривые, доказать, что у них есть общие точки не составляет труда. Однако хотелось бы услышать, как можно строго доказать непрерывность серой линии..

В частности, возможен случай, когда в некоторой области есть серая точка, а её окружают только черные или только белые. Но в таком случае найдется еще некая серая кривая.

Но это всё махание руками, помогите, Господа)

[Gafield]

Можно попробовать как-нибудь так. Применим это рассуждение к большому кругу. Тогда на нем найдется серая точка. А теперь будем похожим(?) образом раскрашивать меридианы для давления, с учетом серых точек на каждом.

[id]

Теорема Борсука

-- Сб ноя 28, 2009 23:56:20 --

И... что-то я не думаю, что у нее есть наивное доказательства, без алгебраико-топологических трюков.

[IFRIT]

Спасибо, эта теорема, конечно, самое то, однако ища доказательство этой теоремы, я наткнулься на слова, что её доказательства непонятны для большинства "нетопологов". Так что.. мне, как первокурснику, хотелось бы услышать просто доказательство для этой задачки, если такое возможно)

[Профессор Снэйп]

Как-то я пытался строго доказывать теорему Борсука для двумерного случая методами матана конца первого - начала второго курсов. Вышло странички полторы текста. Сейчас поискал старый pdf --- не нашёл, стёр видать

Там всё вполне реально, но муторно...

Оно зачем надо? Я, конечно, могу попробовать поискать файл на старых болванках. А, может, стоит доказать для одномерного случая (там легко) и успокоиться?

[IFRIT]

для двумерного, то то, что на окружности найдутся 2 точки с равным значением? если так, то это несложно..

[Профессор Снэйп]

IFRIT в сообщении #266301 писал(а):

для двумерного, то то, что на окружности найдутся 2 точки с равным значением? если так, то это несложно..

Да, именно это. Сфера в $\mathbb{R}^2$, но её внутренняя размерность, как многообразия, равна $1$. Потому и пишу, что для одномерного.

[IFRIT]

Да не, спасибо, для одномерного совсем просто, так что не стоит))

[id]

Профессор Снэйп
Конца первого и начала второго? Интересно.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

id в сообщении #266642 писал(а):

Профессор Снэйп
Конца первого и начала второго? Интересно.

Там использовались свойства непрерывных на компакте функций и то, что сфера компактна. У нас на матане это в конце первого курса было, на соседнем потоке - в начале второго.

[id]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп
Если все же найдете свое док-во ( ну или какие идеи ), постите; интересно посмотреть.

[PAV]

http://dxdy.ru/topic42777.html