Зачем нужна теорема Кронекера - Капелли?

[invisible1]

Вот например у нас есть система уравнений $3$x$3$
$a_{11}x_1+a_{21}x_2+ a_{31}x_3=b_1$
$a_{12}x_1+a_{22}x_2+ a_{32}x_3=b_2$
$a_{13}x_1+a_{23}x_2+ a_{33}x_3=b_3$

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31} \\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix},$
$ A\cdot \vec x=\vec b$
Пока я буду искать ранг исходной матрицы и расширенной, я могу решить систему методом Гаусса или обнаружу, что она несовместна...
Вот например поставлена задача
Проверить на совместность и решить неоднородную СЛАУ $3$x$3$
1)методом Гаусса
2)методом обратной матрицы
С чего бы вы начали? Кстати, какой самый быстрый способ поиска обратной матрицы?
По идее, решая Гауссом, мы автоматически определяем ранг матрицы $A$

[ewert]

Цитата:

Зачем нужна теорема Кронекера - Капелли?

Для практических вычислений -- нафиг не нужна. Как и детерминант вообще, между прочим. Но эти вещи позволяют связывать между собой разные теоретические утверждения. И это полезно.

[invisible1]

Спасибо!
Вот например поставлена задача
Проверить на совместность и решить неоднородную СЛАУ $3$x$3$
1)методом Гаусса
2)методом обратной матрицы
С чего бы вы начали? Кстати, какой самый быстрый способ поиска обратной матрицы?
По идее, решая Гауссом, мы автоматически определяем ранг матрицы $A$[/quote]

[Полосин]

Метод Гаусса значительно быстрее и удобнее на практике. Кстати, он же позволяет вычислять и обратную матрицу (т.н. метод Гаусса-Жордана).
Метод обратной матрицы, т.е. представление решения в виде $x=A^{-1}b$, удобен и чаще всего применяется в теоретических изысканиях, как справедливо отметил ewert.

[invisible1]

Спасибо! Но все же на вопрос не ответили(

Вот например поставлена задача
Проверить на совместность и решить неоднородную СЛАУ x
1)методом Гаусса
2)методом обратной матрицы

[Ryabsky]

Смотря какая матрица. Если обратная ищется сразу, то тогда можно обратной.
Ну а так уж почему бы и Гаусса не применить?
Вообще в задачах с матрицами 3х3 борьба идет за доли секунд. Пока выбираешь способ решения, эти секунды успеваешь проиграть.

[invisible1]

По идее, если найти базисный минор расширенной матрицы, то мы автоматически устанавливаем ранг, как основной, так и расширенной матрицы, узнаем про совместность...так?

[ewert]

invisible1 в сообщении #266960 писал(а):

По идее, если найти базисный минор расширенной матрицы, то мы автоматически устанавливаем ранг, как основной, так и расширенной матрицы, узнаем про совместность...так?

Непонятно, что это значит. Если мы нечаянно обнаружили, что некоторый минор, включающий столбец правых частей, является базисным, то это ещё не означает, что система несовместна (т.е. что не найдётся базисного минора без правых частей).

Вообще смотря что считать рангом и как его находить. Перебором всех миноров -- нелепо. Единственно разумный способ нахождения ранга -- это метод Гаусса. Но тогда мы автоматически (как Вы же и заметили) одновременно и систему решаем. Т.е. с практической точки зрения теорема Кронекера-Капелли утверждает лишь: система разрешима тогда и только тогда, когда она разрешима.

Вообще формулировка

invisible1 в сообщении #266147 писал(а):

Проверить на совместность и решить неоднородную СЛАУ $3$x$3$
1)методом Гаусса
2)методом обратной матрицы

выглядит неаккуратной. Должно было стоять: "убедиться в совместности", а поскольку система квадратная -- для этого достаточно посчитать определитель основной матрицы. Но это не означает "проверить": если определитель вдруг оказался равен нулю (чего в задании, конечно, не будет), то это ещё не означает несовместности.

[PAV]

invisible1 в сообщении #266942 писал(а):

Спасибо! Но все же на вопрос не ответили(

Вот например поставлена задача
Проверить на совместность и решить неоднородную СЛАУ x
1)методом Гаусса
2)методом обратной матрицы

Мне кажется, что на тот вопрос, который вынесен в заголовок темы, Вам ответили. Теперь Вы хотите под шумок еще и получить решение учебной задачи, так что ли? Складывается ощущение, что вопрос Вы использовали только как отвлекающий маневр, потому что к задаче он никакого отношения не имеет. Разбирайтесь в алгоритме и решайте свою СЛАУ, в чем проблема-то?

[gris]

Кстати, системы двух-трёх даже и четырёх уравнений на компутере быстрее всего решать с помощью формулы Крамера, используя тупое прямое вычисление определителя через элементы матрицы.

[buzenka]

Господа!Чем теорема Кронекера-Капелли отличается от системы Крамера?Подскажите пожалуйста))

[ewert]

Фамилиями: первые две не имеют ничего общего с третьей.

Ну и, конечно, есть общий факт: никакая "теорема" не может иметь ничего общего с "системой". Это как болт не может иметь общего с йогуртом. Если, конечно, первого во второй не швырнуть.

[buzenka]

Ладно,напишу попроще :чем теорема Кронекера-Капелли отличается от теоремы Крамера ?

[ewert]

тем, что между ними нет ничего общего.

Нет, при желании-то общее можно найти, букавки там: а один- один, а один-два, н и т.д....