Сходимость ряда

[MTV]

Коэффициенты ряда
$1 + x + 2x^2 + 4x^3 + 7x^4 + 13x^5 + 24x^6 + ...$
обладают тем свойством, что каждый коэффициент (начиная с четвертого) равен сумме трех предыдущих. Найти сумму этого ряда.

Как ни странно, сумму я нашел, а именно - выразил.
Вкратце: Пусть
$S(x) = 1 + x + 2x^2 + 4x^3 + 7x^4 + 13x^5 + 24x^6 + ...$
запишем:
$xS(x) = x + x^2 + 2x^3 + 4x^4 + 7x^5 + 13x^6 + 24x^7 + ...$
$x^2S(x) = x^2 + x^3 + 2x^4 + 4x^5 + 7x^6 + 13x^7 + 24x^8 + ...$
$x^3S(x) = x^3 + x^4 + 2x^5 + 4x^6 + 7x^7 + 13x^8 + 24x^9 + ...$
откуда сразу имеем:
$S(x) - xS(x) - x^2S(x) - x^3S(x) = 1,$
т.е.
$S(x) = \frac{1}{1-(x+x^2+x^3)}$
Для полноты картины осталось найти область сходимости ряда и выяснить, для всех ли $x$ из области сходимости сумма будет равна $S(x)$
Разумеется, для $x>0$ сумма $S(x)$ имеет лишь место тогда, когда $S(x)>0$. (кстати, ответ в книжке утверждает, что ряд сходится к $S(x)$ при $|x|<1$ - по моему это полный бред).
Собственно, я хочу всё таки найти область сходимости исходного ряда и доказать, что ряд на этой области сходится именно к той сумме $S(x)$. Подскажите, как это можно сделать?
Есть мысли насчет представления этого ряда в виде суммы членов геометрической прогрессии (как никак, она в самом деле напрашивается), но всё же не хватает ума доказать равенство сумм полученного и исходного ряда (непонятно, что будет в крайних точках, которые я тоже найти не могу).
Больше нуждаюсь в строгости рассуждений, нежели в умных мыслях (да простят меня админы за критичность)

[ИСН]

Коэффициенты, а также радиус сходимости ряда, выражаются явным образом через корни знаменателя.
Корни уродливые.
Если Вам всё равно, рассмотрите вместо этих штук обычные числа Фибоначчи - там будет красивее, а идейно то же самое.

[MTV]

Согласен, пытался по всякому. (Радиус прямо через корень многочлена, а коэффициенты - решая рекуррентное уравнение, где опять вылазит тот же самый многочлен). Тот единственный вещественный корень поистине уродливый. Ну да ладно, предположим мы его нашли, обозначили для простоты за $\alpha$. Могу ли я полагать, что ряд сходится на $x \in (-\alpha, \alpha)$ к сумме $S(x)$? Если могу, то почему? И как обстоят дела в крайних точках?

[ИСН]

Смотря на каком языке говорить. Потому что единица на многочлен - хорошая функция, она в любой точке разлагается в хороший ряд Тейлора радиусом до ближайшей особенности. Или потому что она разлагается на сумму членов вида $1\over x-\alpha$, с которыми всё понятно. Или потому что подставьте явное выражение для коэффициентов да посмотрите, геометрическая прогрессия, делов-то.