Вычислить

[Руст]

Вычислить $a^2b+b^2c+c^2a$, если a>b>c корни кубического уравнения:
$x^3-2x^2-x+1$.

[Capella]

$ x^3 -2x^2 -x +1 = (x -2,25)(x- 0,55)(x + 0.8)$ (я округляла до второго знака). Далее подсталяете значения всех трёх $x$ в Ваше первое выражение.

[photon]

Capella писал(а):

(я округляла до второго знака).

Наверное смысл в том, чтобы привести точное значение.
Думается, надо как-то теорему Виета сюда прикрутить.
Например, несложно показать, что
$a^2+b^2+c^2=6$
$(a^2b+b^2c+c^2a)+(a^2c+ab^2+bc^2)=1$

[Capella]

Есть специальный метод решения кубических уравнений. По моему он был предложен Кардано или Тортильей (не ручаюсь за точность второй фамилии). Насколько я знаю, это привело к введению в математике комплексных чисел. На мой взгляд, там будет очень сложно найти точные решения от руки.

[photon]

В том и прикол, что искать сами решения не надо, надо найти то выражение, не применяя формул Кардано, и не выписывая, чему равны $a, b, c$. Да, кубическое уравнение можно решить, но смысл этого задания в вычислении выражения без решения самого уравнения

[Leox]

Не нужно ничего вычислять..Идея решения таких примеров - выразить заданную функцию $f(a,b,c)=a^2*b+b^2*c+c^2*a$через элементарные симметрические функции \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 от корней многочлена.
Но здесь, по-видимому ошибка условия, так как функция $f(a,b,c) $ явно не симметрическая, например $f(a,b,c) \neq f(b,a,c) $. Так что задача решений не имеет.

Исправил теги. У вас что-то уж очень много было закрывающих тегов (которые с чертой), да и открывающих перебор. Тренируйтесь в тестировании.
Dan_Te

[незваный гость]

Здесь не ошибка, а соль задачи. Ответ -- 4. Есть у меня одна идейка, но пока до конца не доработал.

[незваный гость]

Пусть $u = a^2 b+ b^2 c + c^2 a$. Введем $v = a^2 c+ b^2 a + c^2 b$ (фактически это тоже самое выражение, только с обратным упорядочиванием корней). Тогда $u+v$, $u v$ -- добропорядочные симметрические многочлены, и считаются через формулы Виета. Имеем $u+v = 1$, $u v = -12$. Итого -- имеем квадратное уравнение, бОльший корень которого $u = 4$, а меньший -- $v = -3$.

[Руст]

Всё верно. Выражения u и v симметричны относительно подгруппы A3 группы перестановок корней S3, а при других перестановках меняются местами. Поэтому u+v и uv выражаются через симметрические многочлены от корней, поэтому они являются корнями квадратного уравнения. u+v легко вычисляется, для вычисления по отдельности надо убедиться, что дискриминант квадратного уравнения есть так же дискриминант кубического уравнения 49.