Замкнутый шар/подмножество в L^1 пространстве.

[Solunac]

Привет.

Проблема. $\mu$ конечная мера на $X.$
Любой замкнутый шар $L^p$, где $p>1,$ закрыт как подмножество $L^1$.

Доказательство. Достаточно доказать, заявления для замкнутого единичного шара в $L^p$. Мы знаем, что закрытые $B_p$ единичный шар в $L^p$ закрыто как подмножество в $L^p$, и мы хотим доказать, что она также закрыта как подмножество в $L^1.$

Мы докажем его последовательности.

Пусть у нас есть последовательность $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ из $B_p$ который сходится к $f $ (мы все, глядя в $L^1$ пространства, и поэтому в $L^1$ нормой, а не в $L^p$ норма ). Мы должны доказать, что $f$ в $B_p.$ Если мы посмотрим $L^p$ пространстве, мы знаем, что последовательность, которые сходятся, должны сходиться к $f$ в $B_p.$ Но в $L^1$ пространстве, возможно, мы сможем найти последовательность, которая не сходится в $L^p,$ но сходится в $L^1$ к некоторой функции (точка пространства) $f. $ Является ли наше $f$ в $B_p$?

Если $f_n$ сходится к $f $ в $L^1,$ мы знаем, что существует подпоследовательность $f_ {n_k}$ и $k\in\mathbb{N},$ которая сходится к $f$ почти всюду.

Таким $f\in L^p$ эквивалентно $\int_X |f|^pd\mu <\infty,$ и $f\in B_p$ эквивалентно $\int_X |f|^pd\mu \leqslant 1.$

Поскольку $f_{n_k}\to f$, чтобы мы знаем, что $|f_{n_k}|\to |f|$ почти везде.
Поскольку $x^p$ непрерывная функция, мы знаем, что $|f_{n_k}|^p\to |f|^p$ почти всюду.

Теперь у нас есть, что

$$\int_X |f|^pd\mu = \int_X\lim_{k\to\infty}|f_{n_k}|^pd\mu = \int_X\liminf_{k\to\infty}|f_{n_k}|^pd\mu$$

.

Oт лема Фату мы имеем, что

$$\int_X\liminf_{k\to\infty}|f_{n_k}|^pd\mu \leqslant \liminf_{k\to\infty}\int_X|f_{n_k}|^pd\mu.$$

Поскольку $f_ {n_k}$ в $B_p$ ($\subset L^p$) имеем

$$\liminf_{k\to\infty}\int_X|f_{n_k}|^pd\mu \leqslant 1.$$

Таким $f$ ee в $L^p,$, точнее в $B_p.$ Q.E.D.

Вопрос: Можно говорить, если мое решение (доказательство) правильно/неправильно (за исключением мой русский:)), или что-то не хватает?

Спасибо.

[RIP]

По-моему, всё правильно.