Дифференциально-рекуррентные уравнения

[Борис Лейкин]

Подскажите пожалуйста, как решаются вот такие уравнения:
$F(t,x(t),x(t+a),\frac{dx}{dt})=0$
Например:
$\dfrac{dx}{dt}=x(t+1)+x(t)$

[V.V.]

Борис Лейкин писал(а):

Подскажите пожалуйста, как решаются вот такие уравнения:
$F(t,x(t),x(t+a),\frac{dx}{dt})=0$
Например:
$\dfrac{dx}{dt}=x(t+1)+x(t)$

Линейные уравнения решаются, например, с помощью преобразования Лапласа.
Ваше уравнение преобразуется в $pX(p)-x(0)=X(p)(1+e^{p})$. Выражаете X(p) и пытаетесь найти оригинал для получившегося изображения. Это если у Вас x(t)=0 при t<0.

Еще бывает метод шагов, который теоретически работает для любых уравнений.
Например, $\dfrac{dx}{dt}=x(t+1)+x(t)$,$x(t)=t$ при $t\le 0$.
Тогда x(t)=x'(t-1)-x(t-1). Т.е. на отрезке [0,1] x(t)=1-(t-1)=2-t. Далее можете рассмотреть уравнение на отрезке [1,2] и т.д. Иногда из таких рассмотрений можно вывести общую формулу.