Старший/младший вектор представления алгебры Ли

[Leox]

Пусть $L$ -- простая конечномерная алгебра Ли, для определенности будем считать $L=sl_n$, $V=\langle v_1,v_2,\ldots, v_m \rangle$ - конечномерное представление $L,$ $V^*:=\langle v_1^*,v_2^*,\ldots, v_n^* \rangle $ -- представление алгебры $L$ в дуальном пространстве, т.е. $V^*=Hom(V,k),$ $k$ -- основное поле, причем базисы $\{ v_i\}$ и $\{ v_i*\}$ --дуальны , т.е. $v_i^*(v_j)=\delta_{ij}.$ Пусть $\varphi : V \to V^*$ -- естественный изоморфизм векторный пространств $\varphi(v_i)=v_i^*.$ Нужно доказать -- если $x \in V$ -- старший вектор представления $V,$ то $\varphi(x)$ , будет младшим вектором представления $V^*.$