[ФАН] Нигде не плотное множество

[anonymous 3525]

Читаю КФ и не могу понять одну вещь. Множество $A$ называется плотным в B, если $B \subset [A]$. Множество $A$ называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре. Дальше автор утверждает, что если $A$ нигде не плотно, то в каждом шаре $B \subset R$ ($R$ - это метрическое пространство) содержится другой шар $B'$, не имеющий с $A$ ни одной общей точки.

Так вот, почему найдется такой шар $B'$? Почему именно шар? Как доказать, что такой шар существует?

[jetyb]

Если такого шара нет, то в любой проколотой окрестности любой точки из $B\setminus A $ содержится точка из $A$, т.е. $B\setminus A $ состоит из предельных точек множества $A$. Дальше сообразите?

[gris]

Что шар, что открытая окрестность, какая разница. Можно от противного доказать.

[anonymous 3525]

jetyb в сообщении #264960 писал(а):

Если такого шара нет, то в любой проколотой окрестности любой точки из $B\setminus A $ содержится точка из $A$

Да, согласен.

jetyb в сообщении #264960 писал(а):

т.е. $B\setminus A $ состоит из предельных точек множества $A$.

Вот здесь не понял, почему?

[jetyb]

По определению предельной точки.

[anonymous 3525]

А, понял. Да, $B\setminus A $ состоит из предельных точек множества $A$, не принадлежащих $A$. И тогда получаем противоречие с тем что $B\setminus [A] \neq 0$. Все правильно, спасибо.

[Виктор Викторов]

Некоторые тонкости. Плотность является топологическим понятием. Определение: множество $A$ топологического пространства называется плотным в B, если $B \subset [A]$ не очень удачно. Дело в том, что тогда нигде не плотное множество в ряде случаев оказывается плотным. Например, множество {2, 3} в топологии числовой прямой будет плотным в множестве {2}. Поэтому, много лучше говорить о плотности только в непустом открытом множестве. Тогда наше определение звучит так: множество $A$ топологического пространства называется плотным в непустом открытом множестве B, если $B \subset [A]$. И: множество $A$ топологического пространства называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном непустом открытом множестве.

[anonymous 3525]

Виктор Викторов в сообщении #265019 писал(а):

Дело в том, что тогда нигде не плотное множество в ряде случаев оказывается плотным.

А что в этом плохого? Может именно так и было задумано?

[anonymous 3525]

Т.е. я хотел сказать, что в данном случае, наверно, слово "нигде" значит "ни в одном шаре", а не в любом множестве.

[Виктор Викторов]

anonymous 3525 в сообщении #265074 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #265019 писал(а):

Дело в том, что тогда нигде не плотное множество в ряде случаев оказывается плотным.

А что в этом плохого? Может именно так и было задумано?

Для меня плотность это «подпорченная» открытость. Т. е. самый крутой вариант, если некоторое непустое открытое множество $W$ является подмножеством нашего множества $H$. Но если "нет", то, может быть, непустое открытое множество $W$ является подмножеством замыкания множества $H$. И, если "да", то тогда множество $H$ плотно в $W$. Конечно, в том частном случае, когда $W$ подмножество $H$, множество $H$ также плотно в $W$. Но не наоборот!

anonymous 3525 в сообщении #264955 писал(а):

Читаю КФ

Что такое КФ?

[anonymous 3525]

Виктор Викторов в сообщении #265154 писал(а):

Что такое КФ?

Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.