Гладкость обобщенно-гармонической функции

[sasha-parazit]

Функцию $u \in L^2(\Omega)$ будем называть обобщенно-гармонической, если для любой $\varphi \in D(\Omega)$ справедливо тождество
$\int_\Omega u(x)\Delta\varphi(x)dx = 0$.
Здесь $\Omega$ - шар еденичного радиуса, $D(\Omega)$ - множество основных функций.

Доказать, что $u \in C^\infty(\Omega)$.

Как доказать?
Пожалуйста, помогите с доказательством.

Эта задача есть в книге Михайлова В.П. "Дифференциальные уравнения в частных производных",
и там не предполагается владения аппаратом обобщенных функций.

[V.V.]

В учебнике Олейник все аккуратно расписано. Страницах на пятнадцати.

[ewert]

(Оффтоп)

бесконечная дифференцируемость -- следует из какой-то теоремы о среднем (не помню, какой). А та теорема -- не опирается ни на какие гладкости, а лишь на некоторые интегральные соотношения.

Оффтопик, как и было обещано.

[sasha-parazit]

Спасибо за ссылку, V.V.

Я нашел также эту теорему в Михлине (всего 0,5 страницы)