фундаментальное решение оператора в терминах обобщ. функций

[g-a-m-m-a]

Подскажите, как найти фундаментальное решение следующего оператора в терминах обобщенных функций
$\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}-a\frac{\partial}{\partial x}-b\frac{\partial}{\partial y}+ab?$

[Gafield]

Можно с помощью преобразования Фурье. Либо заметить, что оператор является произведением двух...

[AKM]

g-a-m-m-a, не дублируйте темы!

[g-a-m-m-a]

Gafield в сообщении #264754 писал(а):

Либо заметить, что оператор является произведением двух...

Не слышал о таком методе, не могли вы уточнить, что вы имеете в виду?(если что, я понимаю, как представить в виде произведения операторов)

[ewert]

$$=\left({\partial\over\partial x}-b\right)\left({\partial\over\partial y}-a\right)$$

[g-a-m-m-a]

ewert? я же писал:

g-a-m-m-a в сообщении #264836 писал(а):

(если что, я понимаю, как представить в виде произведения операторов)

А что дальше делать--хотелось бы решить не через преобразование Фурье, а то там долго и скучно.

[Gafield]

Ну, $\delta(x,y)=\delta(x)\delta(y)$, а одна скобка не зависит от $x$, а другая от $y$. Так что фундаментальное решение будет произведением ф.р. для каждой из скобок. А для линейного ОДУ первого порядка ф.р. равно $f(x)\theta(x)$, где $f$ - решение однородного уравнения с начальным условием $f(0)=1$, а $\theta$ - функция Хевисайда. Можно найти соотв. теорему в книжках или проверить непосредственно. Напр., для оператора $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}$ ф.р. будет просто $\theta(x)\theta(y)$.

[g-a-m-m-a]

Еще такой вопрос про фундаментальное решение оператора Гельмгольца
$\Delta+k^2$ в $\mathbb R^3.$
Непосредственной проверкой можно убедиться, что $-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi|x|},\quad-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi|x|}$ являются фундаментальными решениями этого оператора, как показать, что других нет?

[Gafield]

Их есть сколько угодно Надо просто прибавить любое регулярное решение в $\mathbb R^n$, напр. $\cos kx_1$. Если же имеется в виду ф.р. с нулевыми условиями излучения на бесконечности, то тут нужна теорема единственности для классического решения такого вида в $\mathbb R^n$. Пусть у нас есть еще одно ф.р. такого вида, тогда их разность...

[ewert]

сперва надо уточнить, что в точности формально называется фундаментальным решением.

В ограниченной области -- вопросов нет, там обратный оператор ограничен. А тут -- я просто не помню, давно это было. Ну были какие-то там условия Зоммерфельда, но так давно, да и зачем...