Верхняя оценка суммы ряда

[st256]

Ну и, собственно, сам ряд. Точнее его сумма :

$\sum\limits_{n=0}^{N - 1} |cos( \frac {2 \pi} {N} nk)|$
для $k=1,2,3,...,N/2-1$

[Gafield]

C какой точностью? $\le N$ устроит?
А вообще, это почти интегральные суммы для $\int_0^1 |\cos 2\pi k x|\,dx=\frac2\pi$. Так что для фиксированного $k$

$$\lim_{N\to\infty}\frac{S_N(k)}N=\frac2\pi$$

.

Вот, в качестве задачи: $S_{2^m}(k)<\frac{2N}\pi$. Для всех $N$ идеи оценок стоит смотреть в методе тригонометрических сумм. Там давно изучается всякое похожее. Вероятно, и такая сумма уже оценивалась. Имеются утверждения типа: максимумы достигаются для $k$, при которых знаменатель $k/N$ мал. Тут это тоже похоже на правду, поскольку чем больше знаменатель, тем меньше сумма должна (вроде бы ) отличаться от интеграла.

[RIP]

Сумма вычисляется в явном виде. Если обозначить сумму через $S(N,k)$ и положить $d=(N,k)$ (наиб. общий делитель), то $S(N,k)=dS(N/d,1)$. А

$$S(N,1)=\sum_{n=-\lfloor N/4\rfloor}^{\lfloor N/4\rfloor}\cos\frac{2\pi n}N-\sum_{n=\lfloor N/4\rfloor+1}^{\lfloor3N/4\rfloor}\cos\frac{2\pi n}N=\frac{\text{нечто}}{2\sin\frac\pi N}.$$

Досчитывать до конца лень.