Восстановление функций по коэффициентам Фурье

[sonya]

Очень нужен ваш совет.
При написании кандидатской диссертации я столкнулась с такой проблемой, как необходимость практического применения полученных результатов. Результаты вкратце такие: есть первые N коэффициентов Фурье некоторой довольно гладкой функции (точнее, функция принадлежит к соболевскому классу, т.е. ее k-я производная ограничена). Эти коэффициенты заданы неточно, с некоторой погрешностью $\delta$. Необходимо восстановить по этой информации саму функцию или ее производную порядка $r<k$. Получен оптимальный метод восстановления, который учитывает погрешность, при необходимости отбрасывает часть коэффициентов, а оставшиеся корректирует, затем производится обратное преобразование Фурье (альтернатива регуляризации по Тихонову). В какой реальной задаче из физики или другой области может понадобится восстановление по Фурье?

[grisania]

sonya в сообщении #264064 писал(а):

Очень нужен ваш совет.
При написании кандидатской диссертации я столкнулась с такой проблемой, как необходимость практического применения полученных результатов. Результаты вкратце такие: есть первые N коэффициентов Фурье некоторой довольно гладкой функции (точнее, функция принадлежит к соболевскому классу, т.е. ее k-я производная ограничена). Эти коэффициенты заданы неточно, с некоторой погрешностью $\delta$. Необходимо восстановить по этой информации саму функцию или ее производную порядка $r<k$. Получен оптимальный метод восстановления, который учитывает погрешность, при необходимости отбрасывает часть коэффициентов, а оставшиеся корректирует, затем производится обратное преобразование Фурье (альтернатива регуляризации по Тихонову). В какой реальной задаче из физики или другой области может понадобится восстановление по Фурье?

Таких задач масса. Обычно таким образом уберают ненужные частоты из спектра из реального физического сигнала (например, звукового), делая затем обратное преобразование Фурье. Но вот навряд ли кому интересно восстановление производной сигнала, а тем более высоких порядков.

[sonya]

Да, это я знаю, но в этой ситуации коэффициенты Фурье не являются "исходной" информацией, неизвестна их погрешность. Хотелось бы какого-то конкретного примера из предметной области.

[Андрей АK]

Только одно приходит в голову.
Распознавание сигнала с помощю нейронных сетей.
Если сеть натаскана на распознавание по производным/форме графика (а не по Фурье-разложению), но наличие шума сильно мешает, тогда можно исходный сигнал разложить в ряды, убрать шум и восстановить график, а потом уже использовать его для распознавания образов.
Я правда не знаю где такое применяется ... и применяется ли вообще ... только слышал, что есть методы связи, у военных, замаскированные под обычный шум и очень трудно опознать среди общего шума - идет ли какой-то разумный сигнал в эфире или нет.
Есть ещё у биржевиков проблема - распознавание различных фигур в графике колебания курса - программа должна опознать определённую фигуру на фоне случайных колебаний.

[terminator-II]

sonya в сообщении #264064 писал(а):

функция принадлежит к соболевскому классу, т.е. ее k-я производная ограничена)

мндя

sonya в сообщении #264064 писал(а):

есть первые N коэффициентов Фурье некоторой довольно гладкой функции

а чем первые 100 коэффициентов Фурье гладкой функции отличаются от первых 100 коэффициентов Фурье негладкой функции?

[grisania]

sonya в сообщении #264064 писал(а):

Очень нужен ваш совет.
При написании кандидатской диссертации я столкнулась с такой проблемой, как необходимость практического применения полученных результатов. Результаты вкратце такие: есть первые N коэффициентов Фурье некоторой довольно гладкой функции (точнее, функция принадлежит к соболевскому классу, т.е. ее k-я производная ограничена). Эти коэффициенты заданы неточно, с некоторой погрешностью $\delta$. Необходимо восстановить по этой информации саму функцию или ее производную порядка $r<k$. Получен оптимальный метод восстановления, который учитывает погрешность, при необходимости отбрасывает часть коэффициентов, а оставшиеся корректирует, затем производится обратное преобразование Фурье (альтернатива регуляризации по Тихонову). В какой реальной задаче из физики или другой области может понадобится восстановление по Фурье?

Возьмем простейшую синусоиду и добавим к ней белый шум, который как известно имеет все частоты. Разложим сигнал= синусоид+ белый шум в ряд Фурье. Коэффициенты сигнала заданы неточно, с некоторой погрешностью от коэффициентов синусоиды. Сможете ли вы восстановить синусоиду? Если да, то вы получите новый вид фильтрации сигналов.

[Pavia]

1 вопрос у вас решение для непрерывных функций(определенных от -бесконечности к + бесконечности) или для дискретных (-N до N) ?

2 вопрос. Как насчет не гладких функций?

Теперь насчет предложения. Если брать сигнал миандер или кодовый импульсный. То там как раз имеются проблемы с произодными раз. Два шумы.

Второй вопрос предложение. Если мы имеем изображение смазанное или расфокусированное, а такое есть постоянно. А еще сама камера имеет аддитивный шум плюс другие шумы. Так вот для восстановления применяется
оптимальный метод восстановления формула Винора (см. обратная свертка).
$\ G(f) = \frac{H^*(f)S(f)}{ |H(f)|^2 S(f) + N(f) }$
Проблема в том что $\delta$ тут в формуле $N(f)$ мы не знаем и померить не можем. А вот оценить(предположить) можем обычно берут как константу 0.01 .
Но все равно формула Винора дает большую погрешность из-за этого. Собственно интересно ваш метод лучше работает или нет?