Функциональный анализ (замкнутость подмножеств)

[Николай]

Здравствуйте. Нужна небольшая помощь по функциональному анализу.
Нужно доказать, что любое подмножество метрического пространства
X является замкнутым.

\[ X = \mathbb{N} \]

\[ \rho (n,m) = \left| {\frac{1} {n} - \frac{1} {m}} \right| \]

Для начала хотелось бы прояснить определение предельной точки множества.
Любая

\[ \varepsilon \]

-окрестность предельной точки

\[ x_0 \]

множества X содержит

\[ \infty \]

точек из X. Значит ли это, что для всех точек

\[ x \]

из указанной
окрестности выполняется

\[ \rho (x_0 ,x) = \left| {\frac{1} {{x_0 }} - \frac{1} {{x}}} \right| < \varepsilon \]

? С указанной метрикой я не вижу предельных точек
множества X(мн-во натуральных чисел). Значит, они все изолированые? А если все точки множества
изолированые, значит ли это, что любое его подмножество замкнуто? Вот такие
простые вопросы. Заранее спасибо за помощь.

[Руст]

\[ \rho (n,m) = \left| {\frac{1} {n} - \frac{1} {m}} \right|>\frac{1}{n(n+1)},n\not =m \]

[Trueman]

Николай писал(а):

Для начала хотелось бы прояснить определение предельной точки множества.
Любая

\[ \varepsilon \]

-окрестность предельной точки

\[ x_0 \]

множества X содержит

\[ \infty \]

точек из X. Значит ли это, что для всех точек

\[ x \]

из указанной
окрестности выполняется

\[ \rho (x_0 ,x) = \left| {\frac{1} {{x_0 }} - \frac{1} {{x}}} \right| < \varepsilon \]

? С указанной метрикой я не вижу предельных точек
множества X(мн-во натуральных чисел). Значит, они все изолированые? А если все точки множества
изолированые, значит ли это, что любое его подмножество замкнуто? Вот такие
простые вопросы. Заранее спасибо за помощь.

Предельные как предел последовательности. Поэтому всякая точка

\[ x_0 \]

самого метрического пространства уже заведома предельная точка этого пространства, как предел последовательности

\[ x_0 , x_0, \ldots,x_0\ldots \]

Все точки получаются изолированные, т.к. очевидно выполняется неравенство записанное выше Рустом. Но данное пространство не содержит всех своих предельных точек, так например, последовательность 1,2,3,....n,... является очевидно фундаментальной в этом пространстве, но не сходящейся. Похоже что замкнутыми будут все ограниченные подмножества.

[Николай]

Trueman писал(а):

так например, последовательность 1,2,3,....n,... является очевидно фундаментальной в этом пространстве, но не сходящейся.

Этот пример я использовал при доказательстве того, что X непольное. Но почему из этого следует, что

Цитата:

данное пространство не содержит всех своих предельных точек

?
Каждая точка X изолированная (это так) и при этом предельная? Честно говоря, мне всегда казалось, что изолированная точка не может быть предельной и наоборот . Приведите тогда, пожалуйста, пример предельной точки X, не пренадлежащей X.

[Someone]

Trueman писал(а):

Предельные как предел последовательности. Поэтому всякая точка

\[ x_0 \]

самого метрического пространства уже заведома предельная точка этого пространства, как предел последовательности

\[ x_0 , x_0, \ldots,x_0\ldots \]

Точка $x_0$ называется предельной точкой множества $M$, если в каждой окрестности точки $x_0$ имеется точка множества $x\in M$, не совпадающая с $x_0$.

При этом точка $x_0$ не обязана принадлежать множеству $M$.

[Trueman]

Someone писал(а):

Trueman писал(а):

Предельные как предел последовательности. Поэтому всякая точка

\[ x_0 \]

самого метрического пространства уже заведома предельная точка этого пространства, как предел последовательности

\[ x_0 , x_0, \ldots,x_0\ldots \]

Точка $x_0$ называется предельной точкой множества $M$, если в каждой окрестности точки $x_0$ имеется точка множества $x\in M$, не совпадающая с $x_0$.

При этом точка $x_0$ не обязана принадлежать множеству $M$.

Да верно, то что я написал это описывает точки прикосновения, не предельные точки, а предельных у дискретного пространства в самом пространстве нет.
Но правда всё равно замкнутые множества так и остануться лишь ограниченные множества, а пример предельной точки не принадлежащей данному пространству, это я так понимаю точка обозначаемая \infty

[Someone]

Trueman писал(а):

Да верно, то что я написал это описывает точки прикосновения, не предельные точки, а предельных у дискретного пространства в самом пространстве нет.
Но правда всё равно замкнутые множества так и остануться лишь ограниченные множества,

Не понял, причём тут ограниченные множества. В том метрическом пространстве, о котором был вопрос, все множества ограничены, поскольку расстояние между любыми двумя точками меньше 1.
Отсутствие предельных точек у топологического пространства и означает, что в нём все подмножества замкнуты.

[er]

Николай писал(а):

Значит, они все изолированые?

Да. Руст привел неравенство, из которого это следует.

Николай писал(а):

А если все точки множества изолированые, значит ли это, что любое его подмножество замкнуто?

Очевидно, да. Если множесство совпадает со всем пространсством, как в рассматриваемом примере. Для понимания этого надо знать определение изолированной точки и определение замкнутого множества. В этом проблема?

[Trueman]

Someone писал(а):

Trueman писал(а):

Да верно, то что я написал это описывает точки прикосновения, не предельные точки, а предельных у дискретного пространства в самом пространстве нет.
Но правда всё равно замкнутые множества так и остануться лишь ограниченные множества,

Не понял, причём тут ограниченные множества. В том метрическом пространстве, о котором был вопрос, все множества ограничены, поскольку расстояние между любыми двумя точками меньше 1.
Отсутствие предельных точек у топологического пространства и означает, что в нём все подмножества замкнуты.

Ограниченные всмысле отношения естественного порядка заданного на множестве натуральных чисел. Проще говоря, лишь конечные подмножества будут замкнутыми в этом метрическом пространстве. Но это верно если рассматривать, $\mathbb N \subset \mathbb N \cup \{\infty \}$. А в данном примере все подмножества замкнутые, извеняюсь за то что пытлся тут невольно ввести в заблуждение.

[Николай]

er писал(а):

Для понимания этого надо знать определение изолированной точки и определение замкнутого множества. В этом проблема?

Эти определения я знаю. Главная проблемма была в доказательстве изолированности всех точек (за что большое спасибо Русту). Благодарю всех за помощь.
Заодно спрошу - не посоветуете книгу, в которой есть разобранные решения подобной и других задач по функциональному анализу. Я пользуюсь (помимо Колмогорова, Фомина) книгой Городецкий "Методы решения задач по ФА". Помогает, но не всегда. Может есть что-то лучше?

[er]

Николай писал(а):

Заодно спрошу - не посоветуете книгу, в которой есть разобранные решения подобной и других задач по функциональному анализу. Я пользуюсь (помимо Колмогорова, Фомина) книгой Городецкий "Методы решения задач по ФА". Помогает, но не всегда. Может есть что-то лучше?

Эта задача скорее по топологии, чем по ФА. В учебнике Энгелькинга Общая топология есть задачки.