интересная задачка из анализу

[Trueman]

Вот нашёл интересную задачку И.М. Гельфанда
известно, что $f:\mathbb R\to\mathbb R \,\,\,sup|f(x)|=M_0$ и $sup|f''(x)|=M_1$ Какие значения может принимать $sup|f'(x)|$?

[незваный гость]

Легко привести пример функции, для которой $sup|f'(x)| = \sqrt{2 M_0 M_1}$. Думаю, что для любой функции $sup|f'(x)| \leq \sqrt{2 M_0 M_1}$.

[Руст]

Это легко доказывается: Взяв в качестве $x_0$ точку где достигается (оно действительно достигается для ограниченной дважды дифференцируемой функции) максимум $|f'(x)|=M_1$ и записав

$$f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(y)dy =f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\int_{x_0}^x (x-y)f''(y)dy $$

легко получается эта оценка.