Два интеграла.

[faintelroy]

Помогите взять интеграл, где $a>0, b>0$ (скорее всего как-то выражается через интеграл ошибок):

$$\int\limits_{0}^{x} \exp(-at^2-\frac b {t^2}) dt$$

Нужно доказать:

$$\int\limits_{0}^{\infty} \sin(kt) dt=\frac 1 k$$

Правда, я не знаю, в каком смысле понимается интеграл (главное значение??!!). Буду благодарен за корректную постановку.

[ИСН]

Первый берётся путём расщепления на два интеграла, в которых переходим к разным новым переменным, грубо говоря - $t+1/t$ и $t-1/t$.
Второму придумайте сначала смысл.

[faintelroy]

Ещё вопрос.

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac {\cos(t)dt} {(t^2+a^2)^{\frac 3 2}}$$

Стандартный метод с помощью теоремы о вычетах не применим. Требуется идея или наводящее соображение.

[Полосин]

$$ \int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\cos t dt}{(t^2+a^2)^{3/2}}=\frac\pi{2a}K_1(a), $$

где $K_\nu(z)$ - функция Макдональда.

[faintelroy]

Спасибо всем, кто меня консультирует!

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\cos t dt}{\ch t-\cos x}$$

x - действительное число
Т.к. на мнимой оси лежит бесконечное число полюсов подынтегральной функции:

$$z=i(x+2\pi n)$$ $$z=i(-x+2\pi n)$$

Вычислить интеграл через сумму вычетов внутри контура, обхватывающего верхнюю полуплоскость невозможно. Интегрирование по частям ведёт к усложнению выражения. Необходим какой-то эвристический метод.

[Полосин]

Вычислить интеграл таким способом (по лемме Жордана) можно, просто придется просуммировать (кстати, это несложно) ряд. Однако проще взять интеграл по прямоугольнику высотой $2\pi$ с вертикальными сторонами, стремящимися к бесконечности.