Тройные интегралы, объемы, цилиндрические координаты

[slx]

Здравствуйте, помогите решить примеры.
1. Расставить границы интегрирования в тройном интеграле $\iiint\limits_{V}f(x, y, z)dxdydz$, если область $V: x\ge0, z\ge\0, y=x, y=3,z=18-x^2-y^2$
2. Вычислить тройной интеграл при помощи цилиндрических координат $\iiint\limits_{V}\frac{dxdydz}{\sqrt{x^2+y^2}},V:x^2+y^2=4y,y+z-4,z\ge0$
3. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями $z\ge0,y=2,y=x,z=x^2$

Во втором задании выходит цилиндр, перерезанный плоскостью, границы получаются: $x=-2..2, y=0..4, z=0..?$

В третьем выходит парабола, перерезанная двумя плоскостями.

Как графики к вам выкладывать: на форум или ссылкой на изображение?

[ewert]

В первом у Вас типичная ситуация: есть вертикальная призма, ограниченная плоскостями $x=0$, $y=x$ и $y=3$, из которой вырезается кусок невертикальными поверхностями $z=0$ и $z=18-x^2-y^2$, и неважно даже, что это за поверхности -- важно лишь, что они пересекаются не внутри призмы. Естественно, проецировать область надо на горизонтальную плоскость.

Во втором -- аналогично: из вертикального цильндра вырезается кусок плоскостями $z=0$ и $z=4-y$. Пределы у Вас, разумеется, неверны -- в горизонтальной плоскости зачем-то квадрат.

В третьем случае ситуация сложнее -- ни по одной паре координат не задано уравнений, выделяющих конечный цилиндр хоть какой-либо формы. Однако поверхности $z=0$ и $z=x^2$ пересекаются (точнее, соприкосаются) вдоль оси игреков ($x=0,\ z=0$). И вертикальный двугранный угол, образованный плоскостями $y=x$ и $y=2$, вырезает из пространства между теми двумя невертикальными поверхностями лишь одну ограниченную область -- ту, что проецируется на горизонтальную плоскость в треугольник между $y=x$, $y=2$ и $x=0$.

[slx]

А можно во втором границы записать по $x=-\sqrt{4y-y^2}..\sqrt{4y-y^2}$?

[ewert]

можно и так, вполне можно, но это достаточно глупо -- в этой конкретной задаче. Вам же чётко было предложено: перейти в цилиндрические координаты. Т.е., собственно -- в полярные в плоскости $XOY$. И ровно так и надо делать, если не хочется ненужных мучений.

---------------------------------------------
Вообще, расставлять пределы следует сознательно. А сознательно (в большинстве случаев, хоть и не всегда) -- это так. Снаружи поставить двойной интеграл по иксам и игрекам, внутри -- обычный по зетам. И уж потом разбираться, как и в каких переменных выгоднее считать внешний двойной интеграл, это вопрос отдельный.

Конечно, если наиболее адекватным окажется подсчёт в сферических координатах -- это вопрос ещё более отдельный (тут предыдущая логика не работает), но это уж дело навыка.

[slx]

Тогда $0\le z\le 4,0\le\phi\le2\pi,2\le\rho\le4$, правильно?

[ewert]

не то что бы неправильно, нет, всего лишь полный бред.

По какой области (ну хоть чиста геометрически для начала) Вы берёте внешний двойной интеграл в переменных икс и игрек?...

И в каких пределах меняется зет при каждой конкретной паре икс и игрек?...

[slx]

Сейчас не совсем понял Вас, если брать $XOY$, то получается просто круг, а если $ZOY$ -- треугольник $(y=0..4, z=0..4-y)$.

[ewert]

Ещё раз. Стандартная стратегия при расстановке пределов -- записать тройной интеграл как двойной от одинарного.

Пару переменных для внешнего (двойного) интеграла следует выбирать по вкусу -- в зависимости от того, как потом интегрировать будет удобнее.

Вот и определитесь, только безоговорочно: по каким конкретно переменным Вы собираетесь считать внешний интеграл?... и, соотв., на какую координатную плоскость то тело придётся проецировать?...

[slx]

То есть можно взять $\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{2}^{4}\rho d\rho$ -- площадь основания цилиндра, а потом взять по $z$?

[slx]

В первом по $XOY$ вышло http://img40.imageshack.us/img40/4610/idz21.jpg

[slx]

График неправильный в предыдущем посте, http://img412.**invalid link**/img412/4610/idz21.jpg