уравнение a(x-y)^4 = bxy в целых числах

[maxal]

Найдите все натуральные решения уравнения $a(x-y)^4 = bxy$, где $a,b$ - фиксированные натуральные числа.

Например, $3(x-y)^4 = xy.$

[worm2]

Если обозначить $z=x-y$ и решать в целых $x$, $z$, то получается квадратное уравнение на $x$, из которого: $x=0.5z(\pm\sqrt{4\frac{a}{b}z^2+1}-1)$, что сводится к уравнению $p^2=abq^2+b^2$ в целых $p$, $q=2z$. Это уравнение, вроде, попроще (хотя я не знаю, как оно в общем виде решается, похоже на Пелля). Потом нужно будет ещё выкинуть ненатуральные $x$, $y$...

[Батороев]

maxal в сообщении #262479 писал(а):

Найдите все натуральные решения уравнения...
Например, $3(x-y)^4 = xy.$

Т.к. $x$ и $y$ - оба четные числа, то можно привести к квадратному уравнению:
$12(x-y)^4=(x+y)^2-(x-y)^2$
$12v^2+v-u=0$

[mihiv]

Рассмотрим уравнение с $a=3,b=1$.Пусть $d=gcd(x,y)$,тогда $x=dm,y=dn$.Подставляя в уравнение и произведя сокращения, получим

$$3d^2(m-n)^4=mn \qquad (1)$$

.Ввиду взаимной простоты $m$ и $n$ это означает,что $m=s_1^2q,n=p_1^2r$,где $d=s_1p_1$ и $gcd(s_1,p_1)=1$.Подставим выражения для $m$ и $n$ в (1) и получим

$$3(s_1^2q-p_1^2r)^4=qr \qquad (2)$$

.Видно,что $q$ и $r$ не делят выражение в скобках,следовательно, они делят $3$ и следовательно $qr=3$,а тогда $s_1^2q-p_1^2r=\pm 1$Пусть $q=1$,тогда $r=3$ и для определения $s_1,p_1$ получаем уравнение Пелля:

$$s_1^2-3p_1^2=1 \qquad (2)$$

,(если справа стоит $-1$ ,то уравнение не имеет решений).В данном случае легко подбирается основное решение ур-ия:$s_1=2,p_1=1$,а по нему известным способом строятся остальные решения уравнения $(2)$.Первые три решения ур-ия (2): $(2,1),(7,4),(97,56)$,по формулам $x_i=s_i^2dq,y_i=p_i^2dr$ находим соответствующие решения исходного ур-ия: $(8,6),(1372,1344),(51109688,51104256).$

Таким же образом можно решить это уравнение когда $a$ произвольное простое число, а $b=1$.Но если ,например,$a=p^2,b=1$ и $p$ простое, то ур-е не имеет решений.

[maxal]

mihiv
А где потеряли решение (263640,263250) ?

[mihiv]

maxal

Действительно,проглядел одно решение ур-ия (2):(26,15).

[Коровьев]

Можно так, нудно и длинно
$ a(x - y)^4 = bxy $
Пусть
$ (a,b) = 1$
$ (x,y) = d $
Тогда
$ a(x' - y')^4 d^2 = bx'y'$
где
$ (x',y') = 1$
Отсюда следует
$ ax'^4 d^2 = ky'$
$ ay'^4 d^2 = lx' $
при некоторых $k,l$
Перемножим перекрёстно
$lx'^5 = ky'^5 $
Так как $ (x',y') = 1$
То
$ k = cx'^5 $
при некотором $c$
Тогда
$ ax'^4 d^2 = cx'^5 y'$
$ ad^2 = cx'y' $
и получим
$ c(x' - y')^4 = b $
Если $ b=1$, то $ c=1$
и получаем систему
$x' - y'= \pm 1$
$ x'y'= ad^2 $
где $d$ произвольное целое.
$x^2 \pm x - ad^2=0$
Дискриминант
$D=1+a(2d)^2=t^2$
$t^2-a(2d)^2=1$
при $a$ свободном от квадратов, действительно, есть уравнение Пелля.