2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача на делимость многочленов
Сообщение14.11.2009, 00:34 
Аватара пользователя
д-ть что $(x^{n}-1)(x^{n-1}-1)(x^{n-2}-1)$ делится на $(x-1)(x^{2}-1)(x^{3}-1)$ при $n\geqslant 3$

ну я начал д-ть по индукции!
1. $n=3$ $(x^{3}-1)(x^{2}-1)(x-1)$ делится на $(x^{3}-1)(x^{2}-1)(x-1)$
2.пусть $n=k$ тогда $(x^{k}-1)(x^{k-1}-1)(x^{k-2}-1)$ делится на $(x-1)(x^{2}-1)(x^{3}-1)$
3.докажем, что при $n=k+1$
$(x^{k+1}-1)(x^{k}-1)(x^{k-1}-1)$ делится на $(x-1)(x^{2}-1)(x^{3}-1)$
рассмотрим следующее:
$(x^{k+1}-1)=(x-1)(x^{k}+x^{k-1}+x^{k-2}+...+1)$
$(x^{k}-1)=(x-1)(x^{k-1}+k^{k-2}+k^{k-3}+...+1)$
$(x^{k-1}-1)=(x-1)(x^{k-2}+k^{k-3}+k^{k-4}+...+1)$

тогда имеем
$(x^{k+1}-1)(x^{k}-1)(x^{k-1}-1)=(x-1)^{3}(x^{k}+x^{k-1}+x^{k-2}+...+1)(x^{k-1}+k^{k-2}+k^{k-3}+...+1)(x^{k-2}+k^{k-3}+k^{k-4}+...+1)$

а что дальше?,чего-то в голову не идёт

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 00:43 
Воспользуйтесь тем, что из k последовательных натуральных чисел всегда найдется одно, которое делится на k.

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 00:49 
Аватара пользователя
а чем это поможет?

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 01:03 
Аватара пользователя
... то есть тем, что кто-то из показателей степени наверху делится на 2, а кто-то - на 3.
(Всё это называется обобщённый биномиальный коэффициент, или как-то в этом роде. Nevermind.)

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 01:08 
Есть такой почти очевидный факт : $(x^k - 1) \ \vdots (x - 1) \  \forall k \geq 1$. Используя его и то, что из k последовательных натуральных чисел всегда найдется одно, которое делится на k, получите доказательство.

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 10:35 
Аватара пользователя
тут ещё важно намекнуть на тождество $x^{mk}-1=(x^m)^k-1$. например, $x^{3k}-1=(x^3)^k-1$

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 12:51 
Аватара пользователя
По индукции тоже нормально доказывается. Просто докажите, что разность $(x^{k+1}-1)(x^k-1)(x^{k-1}-1)-(x^k-1)(x^{k-1}-1)(x^{k-2}-1)$ делится на $(x-1)(x^2-1)(x^3-1)$.

(Оффтоп)

А вообще, такие штуки называют многочленами Гаусса, $q$-биномиальными коэффициентами,...

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 13:32 
А чем можно пользоваться? А то по мне так проще так:
Многочлен $(x-1)(x^2-1)(x^3-1)$ имеет шесть комплексных корней с учётом кратности:
$1$ -кратности 3 и $-1,\ e^{i\frac{4\pi}{3}},\ e^{-i\frac{4\pi}{3}}$, проверяем что они корни нужной кратности и для многочлена: $(x^n-1)(x^{n-1}-1)(x^{n-2}-1)$.

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 21:57 
Аватара пользователя
так я что же не правильно начал доказывать?

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение14.11.2009, 23:45 
Аватара пользователя
По-моему, Вы начали правильно, и зашли в тупичок: не видите искомую делимость.
По-моему, подзказка RIPа позволит Вам её обнаружить: если известно, что $F(k)$ делится на какое-то там зю, а надо доказать, что $F(k+1)$ тоже делится на это зю, то для этого докажем, что $F(k+1)-F(k)$ делится на зю (пишу из общих соображений, не вникнув в детали).

И пусть написанное garin99 не сбивает Вас с толку: по-моему, задачка не требует знания комплексных чисел и великих соотношщений алгебры.

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение15.11.2009, 11:21 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #261804 писал(а):
... то есть тем, что кто-то из показателей степени наверху делится на 2, а кто-то - на 3.

А если один и тот же делится и на $2$, и на $3$? К примеру, $(x^7-1)(x^6-1)(x^5-1)$.

-- Вс ноя 15, 2009 14:25:45 --

RIP в сообщении #261882 писал(а):
По индукции тоже нормально доказывается. Просто докажите, что разность $(x^{k+1})(x^k-1)(x^{k-1}-1)-(x^k-1)(x^{k-1}-1)(x^{k-2}-1)$ делится на $(x-1)(x^2-1)(x^3-1)$.

В первой скобке единицу вычесть забыли.

Кстати, если таким методом делать, то сначала надо доказывать, что $(x^k-1)(x^{k-1}-1)$ делится на $(x-1)(x^2-1)$ (при $k \geqslant 2$).

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение15.11.2009, 21:00 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #262198 писал(а):
А если один и тот же делится и на $2$, и на $3$? К примеру, $(x^7-1)(x^6-1)(x^5-1)$.

Ну, если бы топикстартер своим умом дошёл до такого вопроса, я был бы очень рад.

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение16.11.2009, 12:23 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #261798 писал(а):
тогда имеем
$(x^{k+1}-1)(x^{k}-1)(x^{k-1}-1)=(x-1)^{3}(x^{k}+x^{k-1}+x^{k-2}+...+1)(x^{k-1}+k^{k-2}+k^{k-3}+...+1)(x^{k-2}+k^{k-3}+k^{k-4}+...+1)$
а что дальше?,чего-то в голову не идёт

Осталось доказать, что $(x^{k}+x^{k-1}+...+1)(x^{k-1}+k^{k-2}+...+1)(x^{k-2}+k^{k-3}+...+1)$
делится на (взаимно простые) $(x^2+x+1)$ и $(x+1),$ что очевидно.

 
 
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение16.11.2009, 12:34 
Чего-то долго. Хоть один из показателей делится на 3 -- значит, хоть одна из скобок делится на $(x^3-1)$. Две оставшиеся делятся на $(x-1)$ (т.к. вообще все на него делятся). Наконец, хоть одна из скобок делится на $(x+1)$, т.к. в ней чётный показатель (и, следовательно, $(-1)$ является корнем).

(ну ещё одну очевидную фразу надо для полноты добавить)

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group