2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Цепочка уравнений в частный производных.
Сообщение21.05.2006, 22:02 
Аватара пользователя
у меня такая задача
Имеется цепочка уравнений.
первое
$$
S = S\left( {x,t} \right)
$$
$$
S_t^{'}  \pm a\left( x \right)S_x^{'}  = 0
$$
C таким начальным условием
$$
\left. S \right|_{t = 0}  = x - y = S^0 \left( x \right)
$$

второе
$$
2\left( {S_t^{'} \frac{{\partial \varphi _0 }}
{{\partial t}} - a^2 \left( x \right)S_x^{'} \frac{{\partial \varphi _0 }}
{{\partial x}}} \right) + \left( {S_{tt}^{''}  - a^2 \left( x \right)S_{xx}^{''} } \right)\varphi _0  = 0
$$
с начальным усливием
$$
\left. {\varphi _0 } \right|_{t = 0}  = \frac{1}
{2}\varphi \left( x \right)
$$
3е уравнение.
$$
\left( {\frac{{\partial ^2 \varphi _0 }}
{{\partial tt}} - a^2 \left( x \right)\frac{{\partial ^2 \varphi _0 }}
{{\partial x^2 }}} \right) + 2\left( {S_t^{'} \frac{{\partial \varphi _1 }}
{{\partial t}} - a^2 \left( x \right)S_x^{'} \frac{{\partial \varphi _1 }}
{{\partial x}}} \right) + \left( {S_{tt}^{''}  - a^2 \left( x \right)S_{xx}^{''} } \right)\varphi _1  = 0
$$
C начальным условием

$$
\left. {\varphi _1 } \right|_{t = 0}  = 0
$$
Так вот, Первое и второе уравнение я решил, а вот 3е уравнеие никак. Дошел до определенного места... никак не могу избавится от
$$
{S_t^' }
$$
ИДЕЯ РЕШЕНИЯ такой цепочки урванений состоит в последовательном выражение одного через другое.Например , используя 2е уравнение я вывел, что
$$
\left( {\frac{{\partial ^2 \varphi _0 }}
{{\partial tt}} - a^2 \left( x \right)\frac{{\partial ^2 \varphi _0 }}
{{\partial x^2 }}} \right) = \frac{1}
{4}\varphi _0 \left[ {\left( {a^' } \right)^2  - 2aa^{''} } \right]
$$
тЕПЕРЬ ЭТО ДЕЛО ПОДСТАВЛЯЕМ В 3 уравнение... куда деть $$
{S_t^' }
$$?

 
 
 
 
Сообщение21.05.2006, 22:47 
Аватара пользователя
вторую скобку в третьем надо выразить из второго уравнения!!!

 
 
 
 
Сообщение21.05.2006, 23:26 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
вторую скобку в третьем надо выразить из второго уравнения!!!

я это сделал.
Почучается, что решение однороного уравнения 3, это решение 2. А вот неоднородние 3 сложное...

 
 
 
 
Сообщение22.05.2006, 00:07 
Аватара пользователя
antoshka1303 писал(а):
shwedka писал(а):
вторую скобку в третьем надо выразить из второго уравнения!!!

я это сделал.
Почучается, что решение однороного уравнения 3, это решение 2. А вот неоднородние 3 сложное...

Да, сложное. Но решается.
посмотрите в учебном пособии (КАКОЕ???).
Существо дела в том, что благодаря первому уравнению,
комбинация производная во втором члене 3
выражается как производная по однопй лишь переменной>



$$ 2\left( {S_t^{'} \frac{{\partial  }} {{\partial t}} - a^2 \left( x \right)S_x^{'} \frac{{\partial }} {{\partial x}}} \right) = \frac{\partial }{\partial g}$$
где g - подходящая фухкция.
Называется 'проиозводная вдоль характеристики'
Неоднородное уравнение 3 сводитсв таким образом к неоднородному линейному ОДУ, для которого решение посмоттрите в книжке по ОДУ.
Я не знаю, какое у вас учебное пособие,
нои все это хорошо разжевано в задачнике
Белов В.В., Воробьев Е.М. "Сборник задач по дополнительным главам математической физики" 1978

 
 
 
 
Сообщение22.05.2006, 08:02 
shwedka писал(а):
Я не знаю, какое у вас учебное пособие,
но все это хорошо разжевано в задачнике
Белов В.В., Воробьев Е.М. "Сборник задач по дополнительным главам математической физики" 1978


Да-да! Замечательная книга!
И авторы в МИЭМе работают... Возможно, даже первый автор как раз у Антошки УМФ читает. :)

 
 
 
 
Сообщение22.05.2006, 08:11 
Аватара пользователя
V.V. писал(а):
shwedka писал(а):
Я не знаю, какое у вас учебное пособие,
но все это хорошо разжевано в задачнике
Белов В.В., Воробьев Е.М. "Сборник задач по дополнительным главам математической физики" 1978


Да-да! Замечательная книга!
И авторы в МИЭМе работают... Возможно, даже первый автор как раз у Антошки УМФ читает. :)

Да, читает! Ну и что! Это же слушать невозможно!

 
 
 
 
Сообщение22.05.2006, 08:15 
antoshka1303 писал(а):
Да, читает! Ну и что! Это же слушать невозможно!

А мне нравилось! :)
Хотя, конечно, никакого сравнения с Игорем Витальевичем!

 
 
 
 
Сообщение22.05.2006, 08:27 
Аватара пользователя
V.V. писал(а):
antoshka1303 писал(а):
Да, читает! Ну и что! Это же слушать невозможно!

А мне нравилось! :)
Хотя, конечно, никакого сравнения с Игорем Витальевичем!

КАМЕНЕВ - самый классный преподаватель! С ним сравниться только лишь Татьяна Халиловна :D

 
 
 
 
Сообщение22.05.2006, 08:31 
Аватара пользователя
скачал Задачник Белова. Не могу найти в нем то,ч оо мне нужно.Просмотрел его лекции - тоже ничего:(

 
 
 
 
Сообщение22.05.2006, 10:18 
Аватара пользователя
Вот доберусь завтра до моего университета, посмотрю белова итп.
А пока повторяю.
Решил уравнение
$$ S^\pm_t^{'} \pm  a\left( x \right)S^\pm_x^{'} = 0 $$
нашел S^\pm.
перейди к новым независимым переменным $S^\pm$
и уравнение упростится

 
 
 
 
Сообщение23.05.2006, 07:43 
Аватара пользователя
я всера днем решил все-таки это уравнение и сдал:) Зачет поставили!

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group