Ряд Тейлора в окрестности бесконечности

[casL]

Как разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности бесконечности?

[gris]

Может быть имеется в виду разложение $\frac1f$ в окрестности нуля? При условии существовании в нём конечного предела.

ой, конечно $f(\frac1x)$

[covax]

Наверное, $f(\frac1x)$, а не $\frac1f$.

[amiable]

casL в сообщении #260945 писал(а):

Как разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности бесконечности?

Это, насколько я помню, вообще невозможно. Формула Тейлора может служить только для разложения в окрестности какой-то точки.

[ShMaxG]

Задача о разложении функции $f(x)$ в ряд Тейлора в окрестности бесконечности ставится, как уже сказали, как задача о разложении функции $g(t) = f(1/t)$ в окрестности $t=0$ (а затем делают обратную замену). Причем под $\varepsilon $-окрестностью точки $t=0$, например, можно понимать такую $\varepsilon $-окрестность бесконечности: ${U_\varepsilon }\left( \infty \right) = \left\{ {x|\left| x \right| > \frac{1} {\varepsilon }} \right\}$.

[casL]

Собственно мне нужно разложить функцию $f(x)=\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x} $
Производные функции $f(1/x)$ содержат выражение $1/x$ и я не пойму как $f(1/x)$ раскладывать при $x\to0$

[Sintanial]

эмм я точно не уверен но мне так кажется что вам надо вынести из корней x
То есть получится так :$f(x)=\sqrt{x}\sqrt{1+\frac 2 x}-2\sqrt{x}\sqrt{1+\frac 1 x}+\sqrt{x} $ тогда $|\frac 2 x|<1$ при $x_0=\infty$ . Значит можно использовать вот такую формулу( взята из википедии =) )
$\sqrt{1+x} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n$ если , $|x|<1$

[ShMaxG]

Sintanial
Да, и это будет фактически то же, что я и имел ввиду.

Добавлю только, что
$ \sqrt {1 + x} = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {C_{1/2}^k{x^k}} $, где

$C_{1/2}^k = \frac{{\frac{1} {2}\left( {\frac{1} {2} - 1} \right)\left( {\frac{1} {2} - 2} \right)...\left( {\frac{1} {2} - k + 1} \right)}} {{k!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}\left( {2k - 1} \right)!!}} {{{2^k}k!}},{\text{ }}k \geqslant 1$, и $C_{1/2}^0 = 1$. Действуйте.

[casL]

Спасибо