Теорвер.

[integral2009]

Правильны ли рассуждения?
Вероятность выхода из строя $k$-го блока вычислительной машины за время $T$ равна $p_k$. Определить вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени хотя бы одного элемента из $n$ блоков этой машины , если работа всех из блоков взаимно независима.
Первое, что пришло в голову - это $p = \sum\limits_{k=1}^n{p_k}$
Но у нас события совместные, так что эта формула не имеет силы. С другой стороны....Пусть $n=2$
Тогда
$p_1p_2$ вероятность того, что выйдет из строя и 1, и 2 блок
$(1-p_1)p_2$ вероятность того, что выйдет из строя 2 блок, а первый не выйдет
$(1-p_2)p_1$ вероятность того, что выйдет из строя 1 блок, а второй не выйдет
$(1-p_1)(1-p_2)$ вероятность того что не выйдет из строя - ни первый, ни второй блок
Данные четыре несовместные вероятности образуют полную группу, поэтому
$p_1p_2+(1-p_1)p_2+(1-p_2)p_1+(1-p_1)(1-p_2)=1$
$p_1p_2+(1-p_1)p_2+(1-p_2)p_1$ -вероятность того, что выйдет из строя хотя бы один блок, обозначим ее за $P$ (искомая вероятность)
=> $P = 1 - (1-p_1)(1-p_2)$
Можно ли обобщить на n блоков следующим образом
$P=1-\prod\limits_{k=1}^n(1-p_k)$

[TOTAL]

integral2009 в сообщении #260843 писал(а):

Можно ли обобщить на n блоков следующим образом
$P=1-\prod\limits_{k=1}^n(1-p_k)$

Докажите это.

[gris]

Подумайте, что является отрицанием (дополнением) события - вышел из строя по крайней мере один блок.

[integral2009]

По методу математической индукции для $n=1$ - выполняется, для $n=2$ - выполняется, поэтому выполняется и для любого натурального n...Можно так?

[TOTAL]

integral2009 в сообщении #260851 писал(а):

По методу математической индукции для $n=1$ - выполняется, для $n=2$ - выполняется, поэтому выполняется и для любого натурального n...Можно так?

Так нельзя, это пустые слова, не доказательство.

[gris]

Это не математическая индукция
Тогда бы уж надо предположить, что формула верна для n деталей и добавить ещё одну. Но это излишне.
Составьте событие, дополнительное к тому, о котором спрашивается в условии. И найдите его вероятность.

А, ну Вы уже всё нашли. Осталось только сказать несколько слов про обоснованность применения формулы произведения вероятностей.

[integral2009]

gris , дополнением является то, что все остальные блоки остались в порядке.
По идее...вероятность, что не вышли из строя все блоки равна
$P=\prod\limits_{k=1}^n(1-p_k)$
Вероятность того, что вышел хотя бы один блок
$\overline{P}=1-\prod\limits_{k=1}^n(1-p_k)$
Это противоположные события))) Так?

[gris]

По-моему, этого достаточно, если только TOTAL не потребует чего-то более строгого.

Но вообще полезно запомнить, что отрицанием того, что выполняется хотя бы одно событие, является то, что не выполняется ни одного. Стрелок либо не попадает ни разу, либо попадает хотя бы один раз. Этот приём часто используется в задачах.

Вы немножко не аккуратны. Я бы чуть подправил:
Так как работа всех блоков взаимно независима, тогда выходят из строя или остаются исправными они независимо друг от друга, поэтому вероятность того, что за указанный промежуток $T$ не выйдет из строя ни один из них, равна произведению вероятностей того, что каждый из них не выйдет из строя за этот же промежуток.

Вы такой же любитель корректировать свои сообщения, как и я

[integral2009]

Так как работа всех из блоков взаимно независима, тогда выходят из строя они независимо друг от друга, поэтому вероятность того, что они за указанный промежуток $T$ выйдут из строя равна произведению вероятностей того, что каждый из них выйдет из строя за этот же промежуток.
Спасибо gris, TOTAL

-- Ср ноя 11, 2009 15:41:15 --

Да, так будет аккуратнее:roll: