Замкнутость множества {x из C[0,1], x = t^0.5*cos(at), a>=1}

[qwertyqwerty]

Помогите доказать (не)замкнутость $S = \{ x \in C[0;1] \mid \exists a \ge 1: \forall t \in [0;1] : x(t) = \sqrt{t}\cos(a \cdot t)\}$. Или хотя бы намекните, замкнуто оно или нет (мне кажется что замкнуто, но нормально оценить не удаётся :( )
Заранее благодарю

[ewert]

Не замкнуто, конечно. Возьмите просто какую-нибудь последовательность $a_n\to+\infty$.

Это если я правильно понял множество; оно как-то уж шибко по-декадентски описано.

[qwertyqwerty]

ewert в сообщении #260274 писал(а):

Не замкнуто, конечно. Возьмите просто какую-нибудь последовательность $a_n\to+\infty$.

Если бы не было $\sqrt{t}$ то всё ясно, но если я беру $a_n\to+\infty$, то при попытке "зафиксировать" косинус получается $t_n = \frac{\alpha}{a_n} \to 0$, и следовательно $x(t_n) \to 0$ (если взять $\alpha = \alpha_0 + 2\pi m, m \in \mathbb{N} : \alpha \in [0;1]$, то выглядит многообещающе, но всё равно ничего хорошего у меня не получилось). Если же не обращать внимание на косинус и позволить ему меняться как угодно, то $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ не фундаментальна вобще ни к чему (кроме как в точке $x = 0$) сходиться не будет.

ewert в сообщении #260274 писал(а):

Это если я правильно понял множество; оно как-то уж шибко по-декадентски описано.

Ну это просто множество непрерывных на [0,1] функций, представимых в виде $x(t)=\sqrt{t}\cos(a t)$, где $a \ge 1$

[ewert]

Хм. Я только не понял, зачем я написал "не замкнуто". Наоборот, замкнуто. Любой элемент этого множества является для него предельным, а других предельных элементов у него нет.

Любая последовательность функций $\{x_n(t)\}$ задаётся некоторой последовательностью чисел $\{a_n\}$. Если сходится последовательность $\{a_n\}$, то сходится (равномерно) и последовательность $\{x_n(t)\}$. Если $\{a_n\}$ ограничена и не сходится, то не сходится и $\{x_n(t)\}$ (просто потому, что у неё есть минимум два различных предельных элемента). Если же $\{a_n\}$ не ограничена, то по подпоследовательности можно считать $a_n\to+\infty$; в предыдущем посте имелось в виду, что у соответствующей последовательности $\{x_n(t)\}$ предельных элементов, естественно, нет.

Корень тут вообще не при чём. Что есть он, что нет его -- безразлично.

[nn910]

$ x_a(t) = \sqrt{t}\cos(a \cdot t)\}$, $ a\geq 1$ замкнуто, тк получилась даже равномерная оценка $|a-b|\geq ||x_a-x_b||=max_t 2t|sin \dfrac{a-b}{2}||cos \dfrac{a-b}{2}| \geq C|a-b|$ где для док-ва правого неравенства брать либо $t= \dfrac{2}{a+b}> \dfrac {1}{2\pi}$, либо $t= \dfrac{4 \pi k}{a+b}$ ,где $k \geq 1$ -наибольшее из возможных.
А по-другому, $x_a , a \to \infty$ -не фундаментальны
ewert, стоило ждать полсуток,чтобы написать одновременно
Да уж ,не совсем одновременно.Это я полчаса набирал

[ewert]

Т.е. Вы хотите сказать: замкнутость следует из изоморфности этого множества числовой полуоси. Ну так нет этой изоморфности: оценка снизу $\|x_a-x_b\|\geqslant C\,|a-b|$ неверна и в принципе не может быть верна -- просто потому, что левая часть ограничена, а правая нет.

[nn910]

Понял,спасибо. Неправильно оценил синус $sin \frac{a-b}{2} \geq sin1 \frac{a-b}{2} $ что только при близких a>b верно. Но нефундаментальность я все равно сделал, другим путем.