Кто-нибудь знает тригонометрическую формулу

[st256]

для случая:

есть сумма коссинусов:

$A_0+A_1 cos(x)+A_2 cos(2x)+A_3 cos(3x) ...$

где $A_i$ могут принимать значения только $1$ и $-1$

Можно ли эту сумму выразить через произведение вида

$cos(y_1)cos(y_2)cos(y_3)...$

ну или через смешенное произведение синусов и косинусов?

Заранее спасибо!

[Maslov]

st256 в сообщении #260102 писал(а):

Можно ли эту сумму выразить через произведение вида

$cos(y_1)cos(y_2)cos(y_3)...$

ну или через смешенное произведение синусов и косинусов?

Вряд ли возможно. Произведение синусов и косинусов по модулю не может превышать 1, а исходная сумма у Вас ничем не ограничена.
Или я что-то неправильно понял?

[gris]

Ну коэффициент может быть впереди.
Просто можно попробовать для нескольких первых слагаемых

$1+\cos x=2\cos^2\frac x2$
$1-\cos x=2\sin^2\frac x2$
$1+\cos x+\cos 2x=2\cos^2x+\cos x=???$

[ИСН]

Когда все плюсы, сворачивается банально. Домножить и разделить на синус половины, потом...

[jetyb]

Общее выражение есть:
Сумму косинусов целых углов можно представить как многочлен от косинуса, многочлен разложить на множители $(\cos x-a_i)$, множители представить как разность косинусов: $\cos x-a_i=\cos x-\cos y\quad,y\in\mathcal{C}$.

[st256]

Maslov в сообщении #260114 писал(а):

st256 в сообщении #260102 писал(а):

Можно ли эту сумму выразить через произведение вида

$cos(y_1)cos(y_2)cos(y_3)...$

ну или через смешенное произведение синусов и косинусов?

Вряд ли возможно. Произведение синусов и косинусов по модулю не может превышать 1, а исходная сумма у Вас ничем не ограничена.
Или я что-то неправильно понял?

Коэффициент там есть. Он равен N, где N - число слагаемых

-- Пн ноя 09, 2009 17:33:26 --

jetyb в сообщении #260137 писал(а):

Общее выражение есть:
Сумму косинусов целых углов можно представить как многочлен от косинуса, многочлен разложить на множители $(\cos x-a_i)$, множители представить как разность косинусов: $\cos x-a_i=\cos x-\cos y\quad,y\in\mathcal{C}$.

Думал уже. Сложно получается. У меня степень более 1000.

[Mathusic]

Подифференцируйте нужное кол-во раз - диффур какой получите, через экспоненту можно посчитать - только для конкретного $n$.