Число компонент у симметричного тензора ранга s

[_v_l]

Добрый день.

Задача вроде бы учебная, так что спрашиваю здесь.

Нужно найти число независимых компонент у симметричного тензора ранга $s$.

Поясню, что здесь имеется в виду.

Предполагается, что тензор задан в $n$ линейном пространстве и рассматриваются его компоненты $T_{i_{1}i_{2}\ldots i_{s}}$, где каждый индекс пробегает значения $\overline{1,n}$. Далее считаем, что базис фиксирован. Под симметричным тензором имеем в виду тензор, симметричный по любой паре индексов, например, для первых двух индексов: $T_{ijk\ldots}=T_{jik\ldots}$.

Что такое "независимые компоненты" можно пояcнить на примере: у симметричного тензора второго ранга $T_{ij}$ число независимых компонент равно $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Аналогично, у антисимметричного тензора $A_{ij}$ число независимых компонент равно $\dfrac{n(n-1)}{2}$.

Конечно вместо тензоров можно рассматривать кортежи, это не принципиально.

Веду подсчёт так: понятно, что число независимых компонент равно числу компонент с упорядоченным по возрастанию индексами + число компонент с повторяющимися инндексами:
$ N=N_{\text{ord}}+N_{\text{dup}}. $

Число компонент для антисимметричного тензора как раз равно числу компонент с упорядоченным по возрастанию индексами:
$N_{\text{ord}}=C_{n}^{s}$.

Пошёл тем же путём для симметричного тензора, однако застрял на подсчёте числа компонент с повторяющимися индексами (для этого рассматриваю также упорядоченные наборы чисел).

Вопрос: есть ли конечная формула, выражающая число компонент симметричного тензора ранга $s$, при условии, что $s<n$.

Вопрос2: наверное я выбрал не самый удачный способ подсчёта компонент, есть ли более простой и понятный?

P.S. Если есть комментарии по поводу терминов, не буду против, но желательно с ссылками .

[ha]

Должно получится что-то вроде $C^s_{n+s-1}$. Доказательство: заменяем $i_k$ на $i_k+k-1$ (индексы при этом должны быть упорядочены по возрастанию). Теперь индексы всегда различны.