Помогите решить простые задачи (криволинейные интегралы итп)

[Eiktyrnir]

Уважаемые математики!
Помогите разобраться в решении следующих (простых) задач. "Заблудился в трех соснах".
Задача №1.
Вычислить криволинейный интеграл.

$$\int_{L} ((x/y)-x^{2}) dx + (1/x)dy$$

, где $$L - дуга кривой $$y=x^{2} от точки $$(1;1) до точки $$(2;4)
Что не получилось?!
Пределы изменения $$x и $$y понятны из условия задачи ($x\in [1;2]]$, $y\in [1;4]$), но вот интеграл ... непойму как он расписывается относительно этих самих пределов.
Вот так - чушь получается...

$$\int_{L} ((x/y)-x^{2}) dx + (1/x)dy$$

=$$\int_{1}^{2} dx\int_{1}^{4} \frac {(\frac x y -x^{2})} {x} dy$$ (так решая получается, что L<0 - абсурд!)
Да и неправильная это запись ... А как тогда будет верно? Помогите пожалуйста (уж не обезсудьте за скупость попыток решения)
Задача №2.
Найти поток векторного поля F=(x-2y+z)i в направлении нормали n через поверхность S треугольника, высекаемого координатными плоскостями из плоскости, проходящей через точку P(0;2;0) перпендикулярно вектору n(1;2;2). Сделать чертеж.
Вот с 3-х мерным воображением туговато (чертеж не сделал и понять дальше не смог). Хотя бы мысленно себе представить - немогу, увы...
Что делал (решая аналитически).
Вообщем стандартно поток Ф есть
Ф=$$\int\intFndS$$=

$$\int\int(F_{x}cos(\alpha)+F_{y}cos(\beta)+F_{z}cos(\gamma))dS$$

=

$$\int\int(x-2y+z) \frac 1 3dS$$

здесь "живая" компонента поля только F_{x} и направляющий косинус есть 1/3 (это видно из координат вектора нормали). Дальше "загвоздка". Ясно, что dS=dzdy. Понятно, что $y$\in [0;2], а как быть с изменениями для z? А как понять как x выражается через y и (или) z? Немогу понять. Как говорят в таких случаях - смотрю "как баран на новые ворота".

Помогите пожалуйста разобраться - наведите на "путь истинный".
С уважением, Алексей Чебаков.

[gris]

Просто подсказка по записи двойных интегралов: \iint \iiint
Пределы или множество, по которому интегрируется, можно писать через \limits_{D}

$\iint\limits_D \quad \int\limits_0^1 \quad \iiint\limits_{\Omega}$

[ewert]

Eiktyrnir в сообщении #259832 писал(а):

Вычислить криволинейный интеграл.

Вы обязаны в Вашем криволинейном интеграле выбить все переменные, кроме какой-нибудь одной и свести его тем самым к обыкновенному определённому интегралу. А у Вас тут (слава аллаху!) ещё и игрек через икс явно и очень просто выражается. Вот и выражайте (только не забудьте и под дифференциал игрека подставить).

Остальное -- пока лень, но тоже достаточно тупо.

[gris]

С треугольником во второй задаче тоже не сложно. Нормальный вектор плоскости дан. Значит, её уравнение $1\cdot x+2\cdot y+2\cdot z+D=0$.
Одна точка есть. Подставим, найдём $D$ и точки пересечения с осями. Соединим - получим треугольник, по которому и будем интегрировать.

[Eiktyrnir]

gris
ewert
Дорогие вы мои "врачи". Прозрел. Вижу "свет". Уже вышел из "темной чащи". Ну что еще сказать. Спасибо ребята - все получилось и решилось.
gris - отдельное спасибо за рекомендации по написанию 2-х и 3-х мерных интегралов.
Модераторов просьба за "телячьи нежности" не банить...

[Eiktyrnir]

gris в сообщении #259849 писал(а):

С треугольником во второй задаче тоже не сложно. Нормальный вектор плоскости дан. Значит, её уравнение $1\cdot x+2\cdot y+2\cdot z+D=0$.
Одна точка есть. Подставим, найдём $D$ и точки пересечения с осями. Соединим - получим треугольник, по которому и будем интегрировать.

Уважаемый gris а не подскажите ли еще. Нашел пределы изменения и вроде бы проинтегрировал, но получил поток равный 0. Уверен на 1000% ошибка в пределах изменения по z.
Нашел уравнение плоскости как
x-2y+2z-4=0
Точки пересечения с осями (4;0;0), (0;2;0), (0;0;2).
Пределы изменения z искал как
Из уравнения плоскости x=4-2(y+z)
Фиксируем x=0
z=2-y x=4, z=-y
$z\in[2-y; -y]$
Поток получился как
Ф=$\iint\limits_S(x-2y+z)dS=\int\limits_0^2dy \int\limits_{2-y}^{-y}(4-2(y+z)-2y+z)dz=0$

[AD]

Eiktyrnir в сообщении #260141 писал(а):

Модераторов просьба за "телячьи нежности" не банить...

Это-то ладно, а вот

за неинформативный заголовок Вам ай-ай-ай.

В этом разделе почти все темы подходят под заголовок "Помогите решить простые задачи".

[Eiktyrnir]

AD в сообщении #270177 писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #260141 писал(а):

Модераторов просьба за "телячьи нежности" не банить...

Это-то ладно, а вот

за неинформативный заголовок Вам ай-ай-ай.

В этом разделе почти все темы подходят под заголовок "Помогите решить простые задачи".

понял. учту. исправлюсь.

[Eiktyrnir]

gris писал(а):

Соединим - получим треугольник, по которому и будем интегрировать.

Вот немогу никак представить треугольник... не получается, извините.

[ewert]

Вы должны интегрировать по участку наклонной плоскости, обрезанной тремя координатными плоскостями. Неужели так трудно представить, что это за треугольник -- и как он проецируется на каждуюиз координатных плоскостей?...

[Eiktyrnir]

ewert в сообщении #270258 писал(а):

Вы должны интегрировать по участку наклонной плоскости, обрезанной тремя координатными плоскостями. Неужели так трудно представить, что это за треугольник -- и как он проецируется на каждуюиз координатных плоскостей?...

Вот так немного понятнее становится. Я сегодня попробую добороть задачку. Спасибо еще раз.