квадрат нормы собственных функций Бесселя

[antoshka1303]

Нужно доказать дормулу для квадрата нормы собственных функций Бесселя, для котрых
$$ J_0^{'} \left( {\xi _ m} \right) = 0
докво.
Пусть

$$ F_1 \left( r \right) = J_0 \left( {\alpha _1 r} \right),\alpha _1 = \frac{{\xi _m }} {R} $$

$$ F_2 \left( r \right) = J_0 \left( {\alpha _2 r} \right),\alpha _2 - $$

произвольный параметр. Функции

$$ F_1 \left( r \right),F_2 \left( r \right) $$

удовлетворяют уравнениям

$$ \frac{d} {{dr}}\left( {r\frac{{dF_1 }} {{dr}}} \right) + \alpha _1^2 rF_1 = 0 $$

$$ \frac{d} {{dr}}\left( {r\frac{{dF_2 }} {{dr}}} \right) + \alpha _2^2 rF_2 = 0 $$

причем

$$ F_1^{'} \left( R \right) = 0,F_2 \left( R \right) \ne 0 $$

$$ \eqalign{ & J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right) = 0,J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right) \ne 0, \cr & J_0^{'} \left( {\xi _1 } \right) = 0,J_0^{'} \left( {\xi _2 } \right) \ne 0 \cr} $$

$$ \frac{d} {{dr}}\left( {r\frac{{dF_1 }} {{dr}}} \right)F_2 + \alpha _1^2 rF_1 F_2 - \frac{d} {{dr}}\left( {r\frac{{dF_2 }} {{dr}}} \right)F_1 + \alpha _2^2 rF_1 F_2 = 0\quad $$

$$ \left. {\left[ {r\left( {F_1^' F_2 - F_2^' F_1 } \right)} \right]} \right|_0^R + \left( {\alpha _1^2 - \alpha _2^2 } \right)\int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr} = 0 $$

$$ \int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr} = \frac{1} {{\left( {\alpha _2^2 - \alpha _1^2 } \right)}}R\left( {\alpha _1 J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right)J_0 \left( {\alpha _2 R} \right) - \alpha _2 J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right)J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right) $$

$$ = \frac{{ - 1}} {{\left( {\alpha _2^2 - \alpha _1^2 } \right)}}R\left( {\alpha _2 J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right)J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right) $$

$$ \int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2 \to \alpha _1 } \frac{{R\left[ {J_0 (\alpha _2 R)\alpha _1 J_0^{'} (\alpha _1 R) - J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R)} \right]}} {{\alpha _2^2 - \alpha _1^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2 \to \alpha _1 } - \frac{R} {{\alpha _2^2 - \alpha _1^2 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R) $$

раскрывая неопределенность

$$ = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2 \to \alpha _1 } - \frac{R} {{\alpha _2^2 - \alpha _1^2 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2 \to \alpha _1 } - \frac{R} {{2\alpha _2 }}\left( {J_0 (\alpha _1 R)J_0^{'} (\alpha _2 R) + J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 RJ_0^{''} (\alpha _2 R)} \right) $$

$$ = - \frac{R} {{2\alpha _1 }}\left( {J_0 (\alpha _1 R)J_0^{'} (\alpha _1 R) + J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 RJ_0^{''} (\alpha _1 R)} \right) = - \frac{R} {{2\alpha _1 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _1 RJ_0^{''} (\alpha _1 R) = - \frac{{R^2 }} {2}J_0 (\alpha _1 R)J_0^{''} (\alpha _1 R) $$

дальше пробую применить формулу

$$ F^{''} - \frac{1} {r}F^' = \alpha _1 F $$

в нашем случае

$$ J_0 ^{''} \left( {\alpha _1 R} \right) - \frac{1} {R}J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right) = \alpha _1 J\left( {\alpha _1 R} \right) $$

продолжаем равенство

$$ = - \frac{{R^2 }} {2}J_0 (\alpha _1 R)\left( { - \frac{1} {R}J_0^' \left( {\alpha _1 R} \right) + \alpha _1 J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right) = - \frac{{R^2 }} {2}\alpha _1 \left[ {J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right]^2 $$

А в моем случае должно получится вот такое

$$ \int\limits_0^R {J_0^2 } \left( {\alpha _1 r} \right)rdr = \frac{{R^2 }} {2}\left[ {J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right]^2 $$

$$ \int\limits_0^R {J_0^2 } \left( {\frac{{\xi _m }} {R}r} \right)rdr = \frac{{R^2 }} {2}\left[ {J_0 \left( {\xi _m } \right)} \right]^2 $$

помогите найти ошибку!

[shwedka]

ОшибкИ в формуле после

Цитата:

дальше пробую применить формулу

не минус, а плюс, и альфа должна быть в квадрате и с минусом.
Но еще одна ошибка затерялась в решении задачи Неймана.
Дело в том, что для задачи Неймана функции $J_0(\alpha_m r)$
НЕ ОБРАЗУЮТ базис, в отличие от задачи Дирихле.
Краевая задача Неймана для Бесселя имеет еще одну собственную функцию,
именно, единичную константу.
У Тихонова-Самарского это обстоятельство в спешке не написано.
Так что к рядам, которые у Вас написаны, нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее постоянной собственной функции.

[antoshka1303]

дальше пробую применить формулу
(хотя на черновике я минус не забыл)

$$ F^{''} + \frac{1} {r}F^{'} = \alpha _1 ^2 F $$

продолжаем равенство

$$ = - \frac{{R^2 }} {2}\alpha _1 ^2 \left[ {J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right]^2 $$

так?
как быть с альфа_1

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Дело в том, что для задачи Неймана функции $J_0(\alpha_m r)$
НЕ ОБРАЗУЮТ базис, в отличие от задачи Дирихле.
Краевая задача Неймана для Бесселя имеет еще одну собственную функцию,
именно, единичную константу.
Так что к рядам, которые у Вас написаны, нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее постоянной собственной функции.

конечно не очень понятно, как мы это получили... можете пояснить?

[shwedka]

Цитата:

конечно не очень понятно, как мы это получили... можете пояснить?

KAK? Да просто
подставьте константу в задачу Неймана на собственные значения для ур. Бесселя и проверьте, что она - собств. функция с собств. значением 0.
А ряд по собственным функциям должен содербать все с.фии.
Помните, мы обсуждали, почему только положительные собственные значения уравнения Бесселя в задачу Дирихле входят.
Тогда мы договорились, что по-честному нужно рассмотреть возможность отрицательных и нулевых тоже, и для Дирихле таких нет.
Для задачи Неймана отрицательных по-прежнему нет, а нулевое появляется.

Цитата:

(хотя на черновике я минус не забыл)

в правой части тоже минус поставить надо!!
Но в формуле перед словами

Цитата:

дальше пробую применить формулу

стоят производные не F, a Бесселя,
поэтому после

Цитата:

в нашем случае

должно быть

$$ J_0 ^{''} \left( {\alpha _1 R} \right) + \frac{1} {R}J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right) =- J\left( {\alpha _1 R} \right) $$