Определение: Полное метрическое пространство

называется пополнением метрического пространства

, если существует

-всюду плотное множество

, такое, что пространства

и

изометричны.
Утверждение: Если

- сепарабельно, то и его пополнение,

- сепарабельно.
Доказательство:
Т.к.

- сепарабельно, то существует

-всюду плотное счетное в

множество

, это значит:

По определению пополнения, существует

-всюду плотное множество

, такое, что пространства

и

изометричны, т.е. существует отображение (биекция)

такое, что

. Тогда

А это равносильно, в силу биективности

тому, что

Итак,

- счетное множество, которое

-всюду плотно в

. А

-

-всюду плотно в

:

Значит,

Это выполнено, лишь только

Таким образом доказано, что

Т.е.

- счетное множество, которое

-всюду плотно в

.
--------------------------------------------------
Проверьте пожалуйста, все ли верно. Может быть где-то проще можно что-то доказать?..
P.S. Утверждение, что если сепарабельно пополнение, то сепарабельно само пространство доказывается аналогично (и даже проще), так что не будем его рассматривать, если здесь ошибок нет.