мартингал Леви

[Taras]

Известно, что если $X_n$- мартингал: $sup_n \mathbb{E}[(X_n)_+]<\infty$, то следующие утверждения еквивалентны:
1.Семья $X_n$-равномерноинтегрируемая.
2.Последовательность $X_n$ - сходится в $L_1$
3.$X_n=\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_n]$, где $X_{\infty}$-$P1$ предел.

Вопрос: Существуют ли аналогичные утверджения для непрерывного времени? Интересуют аналоги 2, 3.

[Taras]

от нашел ответ в Р.Ш.Липцер,,А.Н. Ширяев "Теория Мартингалов" . Все остается в силе для случая $\mathbb{R}_+$.
Все это было нужно для задачи: проверить является ли $X_t=exp(W_t-1/2t)$ мартингалом Леви(екв. равномерноинтегруемый).$W_t$ - процесс Винера. Применяем закон повторного логарифма для в.п. и видим, что Р1 предел $=0$.Но $X_t \neq E[0|\mathcal{F}_tъ$, поэтому ответ отрицательный. Правда?

[Юстас]

Может быть проще применить формулу Ито?

[Taras]

Если я напишу для этого процесса формулу Ито, то я получу, что это мартингал(фактически, теорема о представлении мартингала). Это ясно и без этой формулы.
Или. возможно, Вы говорите о неизвестных мне фактах.

[Юстас]

Из того, что это мартингал, можно вывести следующее неравенство:

$$P\left(\sup_{t\geq 0}e^{W(t)-\frac{t}{2}}>s\right)\leq \frac{1}{s},$$

причем оно должно быть точным. Для равномерной интегрируемости явно недостаточно, хотя это ничего и не доказывает.

[Taras]

Действительно, это неравенство Дуба для мартингалов с непрерывными траекториями (в пределе $T \to \infty$)
А мое решение правильное?

[Юстас]

Я не вижу к чему прицепиться в Вашем аргументе с законом повторного логарифма(да и зачем цепляться ). Можно также оценить $\sup_t \mathbb E[X(t);X(t)>N]$ явно.