Вопрос на д-во (ТФДП)

[maxmatem]

$a_{n}=$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x dx$$
надо доказать что при $n \to \infty$ , $a_{n} \to \00$.
я пытался взять интеграл но это не совсем получилосью.....
но мне кажется что геометрически как-то можно, или аналитически? как это сделать? в одном задачнике нашёл как понизить степень данного интеграла но и это не помогло!

[venco]

Разбить на два интервала: $[0,b_n], [b_n,\frac{\pi}2]$
$b_n$ выбрать так, чтобы на обоих интервалах оценка интегралов сверху (по максимуму $\sin x$ на интервале) стремилась к нулю.

[ИСН]

Совсем не помогло? Хотели понизить степень, а она повысилась?
Интеграл сводится к бета-функции от полуцелых аргументов (т.е. таки выражается в элементарных в общем виде), но ясно же, что его вовсе не надо было брать. Что он стремится к нулю, видно и так.

-- Вт, 2009-11-03, 22:04 --

Да, вот так.

[maxmatem]

геометрически я тоже это понимаю! но как формально это д-ть! и меня была мысль взять интеграл и от того что получится взять предел! но можно как-то проще??

[EtCetera]

Т.к. $\sin x\le 1$, то $\sin^n x\ge\sin^{n+1}x$ (и равенство достигается только в одной точке).
Тогда из того, что $f(x)=\sin^n x$ неотрицательна на $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$, с помощью сравнения интегралов получаем $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx>\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1} xdx$. Т.о., предел существует. Остается выяснить, что пределов, отличных от 0, нет...

[ewert]

Формально -- примерно так. Во-первых, это очевидно. Во-вторых, зафиксируйте некую границу пи-пополам минус эпсилон. Очевидно, что левее этой границы интеграл с ростом "эн" будет стремится к нулю (при фиксированном эпсилоне) -- просто потому, что подынтегральная функция равномерно стремится к нулю. И очевидно, что интеграл по хвостику не превосходит эпсилона. Ну и т.д.

[maxmatem]

Ewert! почему очевидно что $a_{n}$ стремится к нулю? а почему подинтегральная ф-ия стремится к нулю?

[ewert]

Просто есть стандартные приёмы. С проблемами следует расправляться только по мере их поступления. В данном конкретном случае: ясно, что во всех точках, кроме окрестности пи-пополам, функция стремится к нулю, ну так на этом и надо играть. Оцените отдельно интеграл вне этой окрестности -- и интеграл внутри -- и приставьте пару кванторов.

Конечно, не всегда это проходит. Но тут случай достаточно простой.

[Профессор Снэйп]

venco в сообщении #258049 писал(а):

Разбить на два интервала: $[0,b_n], [b_n,\frac{pi}2]$
$b_n$ выбрать так, чтобы на обоих интервалах оценка интегралов сверху (по максимуму $\sin x$ на интервале) стремилась к нулю.

Поддерживаю. Наиболее естественный и короткий способ доказательства!

[maxmatem]

я не совсем понял почему $\sin^{n}x\geqslant \sin^{n+1}x$ как ещё можно д-ть основную задачу топика?

[Профессор Снэйп]

maxmatem в сообщении #258438 писал(а):

я не совсем понял почему $\sin^{n}x\geqslant \sin^{n+1}x$

Потому что $0 \leqslant \sin x \leqslant 1$ при $x \in [0,\pi/2]$

[Профессор Снэйп]

maxmatem в сообщении #258438 писал(а):

как ещё можно д-ть основную задачу топика?

Вот так и доказывайте, в чём проблема.

Пусть дано произвольное $\varepsilon > 0$. Тогда $\sin^n x <\varepsilon / \pi$ при $x \in [0,\pi/2 - \varepsilon/2]$ и всех достаточно больших $n$. При этих $n$ получаем

$$ \int_0^{\pi/2} \sin^n x\, dx = \int_0^{\pi/2 - \varepsilon/2} \sin^n x\, dx + \int_{\pi/2-\varepsilon/2}^{\pi/2} \sin^n x\, dx < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon, $$

то есть то, что требуется.

[Quasus]

Задача-то вроде бы на ТФДП. Может, лучше так решить: подынтегральные функции ограничены в совокупности и стремятся к 0 почти всюду (кроме t = \pi/2), поэтому по теореме Лебега интеграл стремится к 0.