точки разрыва

[Hitp]

Задача:вычислить характер точек разрыва функции $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiabg2 % da9iGacohacaGGPbGaaiOBamaalaaabaGaeqiWdahabaGaaGOmaiaa % dIhaaaaaaa!3E4F! \[ y = \sin \frac{\pi }{{2x}} \] $ и сделать график.
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaCbeaeaaci % GGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaadIhacqGHsgIRcaaIWaaabeaakiGa % cohacaGGPbGaaiOBamaalaaabaGaeqiWdahabaGaaGOmaiaadIhaaa % Gaeyypa0ZaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaIYaaaamaawafabeWcbaGa % amiEaiabgkziUkaaicdaaeqaneaaciGGSbGaaiyAaiaac2gadaWcaa % qaaiaaigdaaeaacaWG4baaaaaakiabg2da9iabg6HiLcaa!51D5! \[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin \frac{\pi }{{2x}} = \frac{\pi }{2}\mathop {\lim \frac{1}{x}}\limits_{x \to 0} = \infty \]$
получается, что это разрыв 2 рода, но думаю тут что то не так. Надо ли брать к нулям слева и справа?
помогите плз

[ewert]

Hitp в сообщении #257674 писал(а):

получается, что это разрыв 2 рода, но думаю тут что то не так.

Нет, он действительно 2-го, но вовсе не по этой причине. Откуда там бесконечность-то в пределе -- когда синус откровенно ограничен?...

[AKM]

Hitp в сообщении #257674 писал(а):

$$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin \frac{\pi }{{2x}} = \frac{\pi }{2}\mathop {\lim \frac{1}{x}}\limits_{x \to 0}$$

Глубоко неверное заявление.
Подумайте --- синус всю жизнь колеблется между $\pm1$, и хоть как-то приблизиться к бесконечности ну никак не может.

[Профессор Снэйп]

Hitp в сообщении #257674 писал(а):

$\lim\limits_{x \to 0} \sin \frac{\pi }{{2x}} = \frac{\pi }{2} \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$

Это как? Откуда такое забавное равенство возникло?

[Hitp]

по 1 замечательному
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaCbeaeaaci % GGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaadIhacqGHsgIRcaaIWaaabeaakiGa % cohacaGGPbGaaiOBamaalaaabaGaeqiWdahabaGaaGOmaiaadIhaaa % Gaeyypa0ZaaybuaeqaleaacaWG4bGaeyOKH4QaaGimaaqab0qaaiGa % cYgacaGGPbGaaiyBaaaakmaalaaabaGaci4CaiaacMgacaGGUbWaaS % aaaeaacqaHapaCaeaacaaIYaGaamiEaaaacaGGQaWaaSaaaeaacqaH % apaCaeaacaaIYaGaamiEaaaaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaik % dacaWG4baaaaaacqGH9aqpdaGfqbqabSqaaiaadIhacqGHsgIRcaaI % WaaabeqdbaGaciiBaiaacMgacaGGTbWaaSaaaeaacqaHapaCaeaaca % aIYaGaamiEaaaaaaaaaa!64BC! \[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin \frac{\pi } {{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{\pi } {{2x}}*\frac{\pi } {{2x}}}} {{\frac{\pi } {{2x}}}} = \mathop {\lim \frac{\pi } {{2x}}}\limits_{x \to 0} \] $
или надо брать слева и справа?

[Профессор Снэйп]

В первом замечательном пределе аргумент синуса стремится к нулю. А у Вас?

[Hitp]

у меня к бесконечности вроде, тогда предел равен 1?

[Профессор Снэйп]

Hitp в сообщении #257684 писал(а):

у меня к бесконечности вроде, тогда предел равен 1?

Тогда предел равен $2$ (наиболее вероятная оценка по матану )

А у $\sin x$ при $x \to \infty$ нет предела

[AKM]

Посмотрел в справочнике первый замечательный предел. Оказалось ---

$$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$$

Но если Вы из этого делаете вывод, что, например,

$$\lim\limits_{x\to0}\sin \ln\arctg\int x\sh\sqrt{\:\strut} =\sin \ln\arctg\int x\sh\sqrt{\:\strut} ,$$

то Вы не правы. Оснований для такого вывода нет.
Более того, поскольку у Вас аргумент синуса к нулю не стремится, то оснований привлекать этот предел я вообще не вижу.

[Hitp]

я так понял, что надо брать +0 и -0, тогда получится 1 и -1 соответственно и это будет разрыв 2 рода
а на графике функция будет прерываться от -1 до 1(по x)

-- Пн ноя 02, 2009 21:05:28 --

Hitp в сообщении #257684 писал(а):

у меня к бесконечности вроде, тогда предел равен 1?

ошибочка вышла))

[Профессор Снэйп]

Давайте начнём со следующего. Если Вы действительно хотите как-то разгребсти жуткий хлам в собственных мозгах, дайте определения точек разрыва первого и второго рода.

[Hitp]

первого рода - существуют пределы слева и справа, но не равные друг
другу
второго рода - не существует предел слева или справа.
значит при +0 и -0 пределы 1 и -1 - первого рода, значит это неправильно
как же тогда решать?

[Профессор Снэйп]

Ну как? Определение Вы сформулировали. Теперь давайте разберёмся, существует ли у функции $\sin (2\pi/x)$ предел в нуле справа. Дайте определение предела справа.

Hitp в сообщении #257695 писал(а):

первого рода - существуют пределы слева и справа, но не равные друг
другу

Забыли добавить, что оба предела должны быть конечны.

[ewert]

сижу, жую поп-корн...

[Hitp]

односторонний значит приближение к предельной точке с одной стороны,
правый - приближение справа