Равномерная интегрируемость случайных величин

[Alexey1]

Известно, что если случайные величины $|\xi_n|\leq\eta, E\eta<\infty$, то $\xi_n$ являются равномерно интегрируемыми. Что не верно в обратном направлении, то есть если $\xi_n$ являются равномерно интегрируемыми, то это не означает, что $|\xi_n|\leq\eta, E\eta<\infty$. А есть ли какой-нибудь пример, который это показывает? Может что-то из функционального анализа.

[id]

Можно подумать о системе функций $\{ f_n \}$, принимающих значение $n$ на отрезке $\triangle_n$ длиной $\frac 1 {n^2}$, в качестве пространства $X$ взять $\sqcup \triangle_n$(объединение дизъюнктных множеств) с конечной мерой.

[Alexey1]

Не совсем понятно. Ну возьмёт эти функции, $\int f_n d\mu=1/n$, где интегрируем по мере Лебега, и что?

[id]

Какое определение равномерно интегрируемого семейства?
$\sup\limits_{f_n \in H} \int\limits_{|f_n| > c} |f_n| d\mu \to 0$ когда $c\to \infty$. Каков будет это супремум?
Этот супремум будет $\frac 1 {ceil \ c}$.

Далее, какая должна быть функция, чтобы мажорировать все $f_n$? Какие могут быть её интегралы по $\triangle_n$? Чему будет равна сумма этих интегралов? Будет ли она конечна?

[Alexey1]

А как это у Вас такой супремум получился? Для любого фиксированного $c$ найдятся $n$, такое что $f_n>c$ и $\int f_n d\mu=\frac{1}{n}$. И что за обозначение $ceil c$?

[id]

$ceil c$ - наименьшее целое, превосходящее $c$.
Ну так вы же написали $\int f_n d\mu=\frac{1}{n}$.
Для $n$ меньше $c$ $\int\limits_{|f_n| > c} |f_n| d\mu = 0$.
Для $n$ больше $c$ $\int\limits_{|f_n| > c} |f_n| d\mu = \frac 1 n$.

Где будет супремум? Чему он равен?

[Alexey1]

Супремум равен $\frac{1}{n}$. И он стремится к нулю для больших $n$. Сейчас буду дальше разбираться.

[id]

Супремум для данного $c$ равен $\frac 1 {m}$, где $m$ - наименьшее целое, превосходящее $c$. Верно?

[Alexey1]

То есть найти функцию доминирующую все $f_n$ не получится. Что и требовалось доказать. Верно?

[id]

Alexey1
Найти-то получится.
Только тогда $\int\limits_{\triangle_n} \xi d\mu > \frac 1 n$, а ряд $\sum \frac 1 n$ расходится.

Значит, неинтегрируема, что и требовалось показать.

[Alexey1]

Что-то я совсем запутался. Я почему то подумал, что это доминирующая функция должна быть константой. Действительно, например $h(x)=x+1$ будет доминировать все $f_n$. Верно?

[id]

Не понял. Какой еще $x$? Исходное пространство - это $\bigsqcup \limits_{n} \triangle_n$. При этом чтобы мажорировать $f_n$ на отрезке $\triangle_n$ $h$ должна быть на нем больше $n$.

[Alexey1]

Да Вы правы, спасибо большое за подробное объяснение.